PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Demostrar que el conjunto de los múltiplos de 3 es un ideal principal considerado en el conjunto de los números enteros dotado de la suma y producto comunes.



Respuesta al ejercicio 58

Vamos a demostrar primero la definición de ideal: Una parte I de un anillo se llama ideal por la parte izquierda (resp. derecha) si cumple:
    \(\forall \quad x,y \in I , x-y \in I \quad ; \quad \forall a \in A, \forall x \in I , a·x \in I \)

Si el conjunto I cumple las anteriores propiedades también por la derecha, se llama bilátero.

Ideal principal.- Un ideal I se llama principal, generado por el elemento \(a \in I\) si cumple:

    \(\forall \quad y \in I \quad \exists z \in A / y = a·z \)
Veamos entonces si el conjunto de los múltipos de 3 es un ideal principal.
    \( \begin{array}{l} \forall 3·x, 3·y \in I : 3x-3y = 3(x-y) = \dot{3}\in I \\ \\ \forall a \in Z : 3·x·a = 3·(x·a) = \dot{3}\in I \end{array} \)
Como el anillo Z es conmutativo para el producto, es evidente que I es un ideal bilatero. El conjunto es un ideal principal generado por el 3.
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tema escrito por: José Antonio Hervás