PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

En un anillo conmutativo A, con elemento unidad, se llama unitario a todo elemento:

    \(x \in A / \;\exists\; x' \in A \; x·x' = 1\)

Demostrar que el conjunto de los elementos unitarios de A es un grupo multiplicativo.

Respuesta al ejercicio 56
Sea C el conjunto de los elementos unitarios de A:
    \(C = \{x \in A / \exists x' \in A : x·x' = 1\} \)
solo es necesario demostrar que la ley es interna en el conjunto C, pues todas las demás propiedades son inherentes a A.
    \(\forall x,y \in C \textrm{ se tiene }: x·x' = 1 ; y·y' = 1\)
Podemos hacer así:
    \(\begin{array}{l}
    (x·x')·(y·y')= 1 = \textrm{(prop. asociativa)} =\\= (x·x'·y·y') = \textrm{(prop conmutativa)} = \\
    \\
    = (x·y·x'·y') = (x·y)·(x'·y')=\\= (x·y)·(y·x)' = (x·y)·(x·y)' \in C
    \end{array}\)
Es evidente que si A no es conmutativo el conjunto C no sería grupo para (·).
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tema escrito por: José Antonio Hervás