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Ejercicios de álgebra

En \((Z,+,·)\) consideramos el conjunto p de los números pares se pide ver si \((P,+,·)\) es un ideal, ¿es un ideal principal?.¿Puede decirse lo mismo del conjunto de los impares?

Respuesta al ejercicio 55
El conjunto P definido por comprensión es:
    \(P = \{ 2·x / x \in Z \} \)
Veamos, pues, si P es ideal:
    \(\forall 2x_1, 2x_2 \in P (x_1,x_2 \in Z) : 2x_1-2x_2 = 2(x_1-x_2) \in P\)

Puesto que \((x_1-x_2) \in Z\)

    \(\forall a \in Z , \forall 2·x \in P : 2x·a = a·2x \in P \)

El conjunto P es un ideal bilátero. Se trata también de un ideal principal, pues todos los elementos de P están generados por el 2

El conjunto de los impares definido por compresión es:

    \(P = \{ 2·x-1 / x \in Z \} \)
Vamos a ver si este conjunto es ideal:
    \(\begin{array}{l}
    \forall (2x_1-1), (2x_2-1) \in I ; (2x_1-1)- (2x_2-1)= \\
    \\
    = 2x_1 - 1 - 2x_2 + 1 = 2(x_1-x_2) \notin I
    \end{array} \)
El conjunto I no es grupo para la suma, por lo tanto no es anillo y, en consecuencia,no es ideal.
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tema escrito por: José Antonio Hervás