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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Consideremos el anillo de los pares de números enteros de la forma (a,b) en el que se han definido las operaciones siguientes

    \(\begin{array}{l}
    (a,b)+(a',b') = (a+a' , b+b') \\
    (a,b)·(a',b') = (a·a' , b·b')
    \end{array} \)

Demostrar que el conjunto de pares de la forma:

    \( S = \{(x,0) / x \in Z\} \)

tiene estrutura de anillo para las operaciones anteriormente definidas y encontrar el elemento unidad de dicho subanillo.

Respuesta al ejercicio 54
El conjunto S debe ser subgrupo para la suma definida:
    \(\begin{array}{l}
    \forall (x,0), (x',0) \in S : (x,0) - (x',0) = \\
    \\
    = (x'-x,0)\Rightarrow (x-x' \in Z ) \in S
    \end{array}\)

Si es subgrupo para la suma pues se cumple la propiedad necesaria y suficiente .

Será también subgrupo abeliano ya que el conjunto principal lo es.

Veamos ahora si es semigrupo para la multiplicación:

    \(\begin{array}{l} \forall (x,0), (x',0) \in S : (x,0) · (x',0) = \\ \\ = (x·x',0)\Rightarrow (x·x' \in Z ) \in S \end{array}\)

Si es semigrupo por cumplir la propiedad necesaria y suficiente.

Por todo ello el conjunto tiene estructura de anillo con las operaciones definidas anteriormente.

Vamos a ver si tiene elemento unidad:

    \((x,0)(\epsilon, 0) = (x,0)\)
Operando tenemos:
    \((x,0)·(\epsilon, 0) = (x·\epsilon,0) = (x,0) \Rightarrow x·\epsilon = x \Rightarrow \epsilon = 1 \)
Y el elemento unidad es \((1,0)\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás