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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Sea A, un anillo unitario y conmutativo, se dice que un ideal \(I\subset A\)es un ideal primo si se cumple (siendo \(I\neq A\)):
    \( x·y \in I, y· x \notin I \Rightarrow y \in I\)

Demostrar que \(I\subset A\) es primo sii \(A/I\) no tiene divisores de cero.

Probar además que si K es un cuerpo y f un homomorfismo de anillos de A en K, el núcleo de f es un ideal primo de A.

Respuesta al ejercicio 53
El ideal que contiene solamente al 0 es la clase de equivalencia del 0, es decir:
    \(\bar{x} = \bar{0} \Leftrightarrow x R 0 \Leftrightarrow x-0 \in I \Rightarrow x \in I \)
Supongamos que se tiene \(\overline{x·y}= \bar{0} \), entonces:
    \(\overline{x·y}= \bar{x}·\bar{y} = \bar{0} \)
Si \(\bar{x} \neq \bar{0} \), se tiene, al ser \(A/I \) integro:
    \(\bar{y} = \bar{0} \Leftrightarrow y R 0 \Leftrightarrow y-0 \in I \Rightarrow y \in I \)

Segunda parte \(f : A \rightarrow K \)

Sea \(x·y \in \ker (f) y x \notin \ker (f) \); se tiene \(f(x·y) = 0 \textrm{ y } f(x) \neq 0\quad f(x)·f(y) = 0 \) (como \(f(x) \neq 0\)) y \(K\) como cuerpo no tiene divisores de cero \(f(y) = 0 \Leftrightarrow y \in \ker (f)\).

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tema escrito por: José Antonio Hervás