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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Sea A un anillo que no admita ningún ideal propio a izquierda . Se supone que existe en A al menos un producto no nulo, demostrar:

a) Que existe al menos un elemento \(a \in A\) no divisible de cero a derecha.

b) Que existe un elemento \(e \in A\) idempotente \(e^2 = e\) tal que cumple \(e·a = a\).

c) Que dicho elemento \(e\) es el elemento unidad del anillo.

Respuesta al ejercicio 52
Consideremos el comjunto:
    \(I = \{x \:/\: x·a = 0\} \)
Se demuestra que I es ideal, puesto que es núcleo de un homorfismo de anillos definido en la forma:
    \(f_a : A \rightarrow A \; ;\; f_a(x) = x·a \)
Puesto que A no tiene ideales propios, I deberá ser A o el ideal \(\{0\}\), pero tenemos:
    \(I \neq A \textrm{, puesto que } \exists\; b \in A / b·a \neq 0 \textrm{ (por hipotesis)} \)
Al no quedar otra alternativa, se debe tener:
    \( I = \{0\} \Leftrightarrow \forall x \in A :: x·a = 0 \Rightarrow x \in \{0\} \)

y por lo tanto el elemento a no es divisor de cero a la derecha

Para el segundo apartado consideremos el conjunto:

    \(I = \{ x·a \; / \; x \in A\} = A·a \)
por la misma razón que anteriormente, se demuestra que I es un ideal, y puesto que A carece de ideales propios, se debe tener:
    \(A·a = \{0\} \quad \vee \quad A·a = A \)
Sabemos que el primer caso no puede ser, puesto que existe \(b \in A\) que cumple:
    \( b·a \neq 0 \Rightarrow A·a \neq \{0\} \Rightarrow A·a = A \; \;; a \in A \)
Puesto que la aplicación definida es biyectiva, debe existir un elemento en A tal que \(a \in A\) sea su imagen, es decir:
    \( \exists e\in A \: :\: e·a = a \)
Vamos a ver si este elemento es idempotente:
    \( e(e·a) = e·a \Rightarrow e^2·a = e·a \Rightarrow e^2 = e \)

puesto que \(a \) es no divisor de cero.

Otra forma de demostrar que \(e \) es idempotente, sería:

    \( e(e·a) = e·a \Rightarrow e^2·a = e·a \Rightarrow e^2 = e \Rightarrow e^2·a - e·a = 0 \)
de ahí se tendría:
    \( (e^2-e)a = 0 \Rightarrow e^2 - e = 0 \Rightarrow e^2 = e \)

por ser \(a \) no divisor de cero a derecha.

Nos queda por último que \(e \) es el elemento unidad del anillo.

Según lo visto, podemos hacer:

    \(x·a = x(e·a) = (x·e)a \Rightarrow x·e = x \, ,\, \forall x \in A \)
Tenemos entonces que \(e \) es elemento unidad a derecha. Para demostrar que también es elemento unidad a izquierda, definimos el conjunto:
    \(B = \{x = ex \,/\, x \in A\} \)
Se demuestra que B es ideal, y al no tener A ideales propios, debe cumplirse:
    \(B = A \quad \vee \quad B = \{0\} \)
Si hacemos B = A, tenemos:
    \(\begin{array}{l} \textrm{ Como } a\in A \Rightarrow \exists\: x_o : x_o - ex_o = a \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow ea = a = ex_o - e^2x_o = ex_o - ex_o = 0 \end{array} \)
pero esto es imposible, puesto que \(a \) es no nulo, por lo tanto, debe ser:
    \(B = \{0\} \Rightarrow \forall x A .- x - ex = 0 \Rightarrow x = ex \)

y por tanto \(e \) es el elemento unidad por la izquierda.

Como también es elemento unidad por la derecha, diremos simplemente que \(e \) es elemento unidad del anillo.

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tema escrito por: Jos Antonio Hervs