PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Dado el conjunto Z definimos en él las siguientes operaciones:
    \(\begin{array}{l}
    a * b = a+b - 8 \\
    a \perp b = a+b - a·b
    \end{array} \)

Determinar:

    a) Si (Z,*) es grupo conmutativo
    b) Si \((Z, \perp )\) es semigrupo conmutativo
    c) en caso positivo para los dos apartados anteriores determinar si \((Z, *, \perp )\) es un anillo.

Respuesta al ejercicio 51

Para que \((Z,\star)\) sea un grupo, debe cumplir las propiedades que definen tal estructura:

Propiedad asociativa:

    \(\begin{array}{l}
    (a\star b)\star c = (a\star b)+ c - 8 = (a+b-8)+ c-8= \\
    = a+b+c-16 \\
    \\
    a\star(b\star c)= a + (b \star c)- 8 = a + (b+c-8)-8 = \\
    = a+b+c-16
    \end{array}\)
Se cumple la propiedad asociativa.
Existencia de elemento neutro:
    \(a \star e = e\star a = a \Rightarrow a+e-8 = a \Rightarrow e-8 = 0 \Rightarrow e=8 \)
el elemento neutro es el 8.
Elementos simétricos:
    \(a' \star a = e = 8 \Rightarrow a' + a -8 = 8 \Rightarrow a' + a = 16 \Rightarrow a' = 16-a \)

Todos los elementos tiene simétrico por la izquierda y es de la forma \(a' = 16-a\).

Si se verifica la propiedad conmutativa no es necesario desarrollar las anteriores propiedades por la derecha:

    \(\left. \begin{array}{c} a\star b = a+b-8 \\ \\ b \star a = b+a-8 \\ \end{array} \right\}\quad a \star b = b\star a \)

y por lo tanto, si se verifica la propiedad conmutativa.

Ley de simplificación:

    \(\left. \begin{array}{c} b\star a = b+a-8 \\ \\ c \star a = c+a-8 \\ \end{array} \right\}\quad b+a-8 = c+a-8 \Rightarrow b = c \)

Por lo tanto, todos los elementos son regulares a izquierda y derecha, por ser la ley conmutativa.

La estructura estudiada es, por consiguiente, un grupo aveliano.

La segunda ley definida cumple las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa:

    \(\begin{array}{l} (a\perp b)\perp c = (a\perp b)+c - (a\perp b)c = \\ = (a+b- ab)+c - (a+b-ab)c = \\ = a+b-ab+c-ac-bc+abc \\ \\ a \perp (b \perp c) = a + (b \perp c)- a(b \perp c) = \\ = a + (b+c-bc) - a(b+c-bc) = \\ = a+b+c - bc - ab - ac + abc \end{array} \)

Como ambos términos son iguales, se cumple la propiedad asociativa.

Propiedad conmutativa:

    \(\begin{array}{l} a \perp b = a+b-ab \\ \\ b \perp a = b + a -ba = a+b-ab \end{array} \)

Se cumple la propiedad conmutativa.

La segunda estructura consiste, segun lo visto, en un semigrupo conmutativo.

Distributividad de la segunda ley respecto de la primera:

    \(\begin{array}{l}
    a \perp (b\star c)= a+(b\star c)- a(b\star c) = \\ = a + (b+c-8)- a(b+c-8)= \\ = a+b+c-8-ab-ac + 8a = \\ = a+b+c - ab -ac + 8a - 8 \\
     \\
    (a \perp b)\star (a\perp c)= (a+b-ab)\star (a+c-ac)= \\
    = (a+b-ab)+ (a+c-ac)-8 = \\
    = 2a + b + c - ab - ac - 8
    \end{array} \)
y puesto que no coinciden los dos términos podemos decir que la ley \((\perp)\) no es distributiva respecto a la ley \((\star)\). Por lo tanto, podemos considerar que \((Z,\star, \perp)\) no es un anillo.
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tema escrito por: José Antonio Hervás