PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra lineal

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Ejercicios de álgebra

Siendo E el conjunto de los números enteros, definimos en E x E una relación de la forma:
    \( (c, d) \; R \; (a, b) \Leftrightarrow ad = bc \)
Demostrar que R es una relación de equivalencia

Respuesta al ejercicio 45
Para que R sea una relación de equivalencia, se han de cumplir las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Hacemos:
    Propiedad reflexiva \(ab = ba \Leftrightarrow (a, b) \; R \; (a, b) \)
Por lo tanto, se cumple la propiedad reflexiva.

Propiedad simétrica
    \((a, b) \; R \; (c, d) \Leftrightarrow cb = da \Leftrightarrow ad = bc \Leftrightarrow (c, d) \; R \; (a, b)\)
Y también se verifica la propiedad simétrica. Finalmente:

Propiedad transitiva
    \(\begin{array}{l} (a, b) \; R \; (c, d) \; \wedge \; (c, d) \; R \; (e, f) \Leftrightarrow cb = da \; \wedge \; e d = f c \Leftrightarrow \\  \\ \Leftrightarrow cbed = dafc \Leftrightarrow be = af \Leftrightarrow(a, b) \; R \; (e f) \end{array}\)
También verificada. Por todo, la relación definida es de equivalencia.
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tema escrito por: Jos Antonio Hervs