Ejercicios de álgebra

Simplificar la siguiente expresión que implica a los conjuntos X, Y y Z:

\( (X\cup Y)\cup (X\cap Z\cup Y)\)

Demostrar, además, que para todo par de conjuntos X e Y se cumple:

\((X\cap Y)\cup (X\cap Y')\cup (X' \cap Y)\cup (X' \cap Y') = I\)

Donde la tilde (‘) representa al conjunto complementario de uno dado e I es el conjunto universal.

Respuesta al ejercicio 33

Para simplificar la expresión dada en primer lugar, tenemos en cuenta la ley distributiva de la unión de conjuntos respecto a la intersección:

\( (X \cup Y)\cup(X \cap Z \cup Y) = (X \cup Y \cup X)\cap (X \cup Y \cup Z \cup Y) = \)

\( = (X \cup Y )\cap (X \cup Y \cup Z) = (X \cup Y) \)

Donde hemos aplicado la ley de simplificación o de absorción.

Para la segunda cuestión tenemos:

\(\begin{array}{l} (X \cap Y)\cup (X \cap Y')\cup(X' \cap Y)\cup(X' \cap Y') = \\  \\ [(X \cap Y)\cup (X \cap Y')]\cup[(X' \cap Y)\cup(X' \cap Y')] =\\  \\ [X \cap (Y \cup Y')]\cup [X' \cap (Y \cup Y')] = \\  \\ = (X \cap I)\cup (X' \cap I) = X \cup X' = I \end{array}\)

Como queríamos demostrar.