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TEORÍA DE CONJUNTOS ~ ÁLGEBRA

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ejercicios resueltos

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Enunciado 51

Dado el conjunto Z definimos en él las siguientes operaciones:
    \(\begin{array}{l}
    a * b = a+b - 8 \\
    a \perp b = a+b - a·b
    \end{array} \)

Determinar:

    a) Si (Z,*) es grupo conmutativo
    b) Si \((Z, \perp )\) es semigrupo conmutativo
    c) en caso positivo para los dos apartados anteriores determinar si \((Z, *, \perp )\) es un anillo.

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Enunciado 52

Sea A un anillo que no admita ningún ideal propio a izquierda . Se supone que existe en A al menos un producto no nulo, demostrar:

a) Que existe al menos un elemento \(a \in A\) no divisible de cero a derecha.

b) Que existe un elemento \(e \in A\) idempotente \(e^2 = e\) tal que cumple \(e·a = a\).

c) Que dicho elemento \(e\) es el elemento unidad del anillo.

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Enunciado 53

Sea A, un anillo unitario y conmutativo, se dice que un ideal \(I\subset A\)es un ideal primo si se cumple (siendo \(I\neq A\)):
    \( x·y \in I, y· x \notin I \Rightarrow y \in I\)

Demostrar que \(I\subset A\) es primo sii \(A/I\) no tiene divisores de cero.

Probar además que si K es un cuerpo y f un homomorfismo de anillos de A en K, el núcleo de f es un ideal primo de A.

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Enunciado 54

Consideremos el anillo de los pares de números enteros de la forma (a,b) en el que se han definido las operaciones siguientes

    \(\begin{array}{l}
    (a,b)+(a',b') = (a+a' , b+b') \\
    (a,b)·(a',b') = (a·a' , b·b')
    \end{array} \)

Demostrar que el conjunto de pares de la forma:

    \( S = \{(x,0) / x \in Z\} \)

tiene estrutura de anillo para las operaciones anteriormente definidas y encontrar el elemento unidad de dicho subanillo.

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Enunciado 55

En \((Z,+,·)\) consideramos el conjunto p de los números pares se pide ver si \((P,+,·)\) es un ideal, ¿es un ideal principal?.¿Puede decirse lo mismo del conjunto de los impares?
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Enunciado 56

En un anillo conmutativo A, con elemento unidad, se llama unitario a todo elemento:

    \(x \in A / \;\exists\; x' \in A \; x·x' = 1\)

Demostrar que el conjunto de los elementos unitarios de A es un grupo multiplicativo.

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Enunciado 57

Demostrar que el núcleo de un homorfismo f que aplica A en A' siendo A y A' anillos, es un ideal de A.
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Enunciado 58

Demostrar que el conjunto de los múltiplos de 3 es un ideal principal considerado en el conjunto de los números enteros dotado de la suma y producto comunes.

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Enunciado 59

Demostrar que el conjunto D de las matrices diagonales de orden n es un subanillo del anillo A de las matrices cuadradas del mismo orden n. Con la suma y producto de matrices como primera y segunda ley.

Determinar si dicho subanillo es conmutativo y tiene divisores de cero.

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Enunciado 60

Sea A un anillo con un número finito de elementos; si A tiene elemento unidad \(e\), demostrar que todo elemento no divisor de cero es inversible.
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CUESTIONES Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

grupo uno ~ : ~ grupo dos ~ : ~ grupo tres

grupo cuatro ~ : ~ grupo cinco ~ : ~ grupo seis
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tema escrito por: José Antonio Hervás