Enunciado 1
Estudiar si la relación definida en Z = {enteros} por aRb ⇔a +
b múltiplo de 2, es de equivalencia y determinar el conjunto cociente
en caso de que lo sea.
Enunciado 2
Comprobar que la relación definida en RxR de la forma (a,b)R(c,d) ⇔
a² + b² = c² + d² es de equivalencia y representar
gráficamente el conjunto cociente RxR/R.
Enunciado 3
Probar que la relación R reflexiva y circular definida sobre E es simétrica
y transitiva. En una relación circular, si aRb y bRc entonces cRa.
Enunciado 4
En el conjunto de los números naturales, N, se define la relación :
\( aRb \quad \Leftrightarrow \quad a + n = b, \; siendo \; n \in N
\cup \{0\} \)
Probar que es de orden, orden total, buena ordenación.
Si la misma relación está definida en los enteros, probar que dota a
este conjunto de estructura de orden total pero no buena ordenación.
Enunciado 5
En el conjunto N de los números naturales, considérese la relación de
divisibilidad x/y en la forma :
\( x / y \quad \Leftrightarrow \quad \exists n \; t.q. y = n·x
\)
a) Ver que tipo de ordenación es
b) Ver que cualquier parte no vacía y finita de N tiene extremo superior
e inferior.
c) Deducir del punto anterior si N, ordenado por la relación de divisibilidad,
es un retículo.
d) Determinar en N – {1} los elementos mínimo, minimales, máximo y
maximales, si los hubiera.
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Enunciado 6
Sea A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}, probar que admite alguna
relación de orden y hallar los elementos distinguidos respecto a cada
una de las partes S
1 = {8, 12, 16} ; S
2 = {2,
4, 6, 8} ; S
3 = {12, 16, 24, 48}. Determinar si A es un retículo
y, en caso positivo, expresar mediante un diagrama el retículo A, de
forma que se vea el supremo e ínfimo de dos elementos cualesquiera.
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Enunciado 7
Sea Z el conjunto de los enteros. Definimos en dicho conjunto una relación
R como sigue :
\( a\, R\, b \quad \Leftrightarrow \quad b-a = \dot{m} \quad ; \quad
m \in Z\)
Probar que es relación de equivalencia y hallar el conjunto cociente.
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Enunciado 8
Sea el conjunto R y los números reales a (distinto de cero), b y c.
Definimos las aplicaciones de R en R siguientes :
\(\begin{array}{l} f: x \; \rightarrow \; f(x) = ax+b \quad ; \\ g:
x \; \rightarrow \; g(x) = ax^2 + bx + c \quad ; \\ h: x \; \rightarrow
\; h(x) = \sin x \end{array} \)
Determinar cuales de las aplicaciones anteriores son sobreyectivas,
inyectivas, biyectivas y obtener las inversas de las biyecciones.
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Enunciado 9
Sean los conjuntos A y B y definida en ellos una correspondencia tal
que a cada elemento x de A la correspondencia le asocia el elemento
y de B tal que y = x² Decir en cual de los siguientes casos la
ley es aplicación y clasificarla.
1º) A = N , B = N ; 2º) A = Z* , B = N ; 3º) A = N , B = {y en N / y
= cuadrado perfecto} ;
4º) A = Z , B = N ; 5º) A = R+ , B = R+ ; 6º) A = R , B = R+ ; 7º) A
= R , B = R- ;
8º) A = R- , B = R+.
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Enunciado 10
Siendo A y B subconjuntos de U, probar que los subconjuntos
\(A\cap B \quad ; \quad A\cap B' \quad ; \quad A'\cap B \quad ; \quad
A'\cap B'\) constituyen una partición de U
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