Ejercicios de física de semiconductores

En un semiconductor tipo p, ¿cual será la posición del nivel de Fermi respecto del nivel de energía \(E_a\) del aceptor, cuando T = 0 ºK y cuando T = T_máx ?.

Respuesta del ejemplo 14

Para un semiconductor tipo p, la condición de neutralidad eléctrica nos permite escribir:

\(p = N_A^+ + n \)

Esta ecuación se puede escribir:

\(\displaystyle \begin{array}{l}
N_v·\exp \left(- \frac{E_F - E_v}{kT}\right) = N_A·\frac{1}{1 + \exp \left[-\frac{E_F - E_A}{kT}\right]} + \\
 \\
+ N_c·\exp \left[-\frac{E_c - E_F}{kT}\right]
\end{array}\)

Si \(T \rightarrow 0\), el primer termino del segundo miembro se anula y tenemos:

\(\displaystyle N_v·\exp \left(- \frac{E_F - E_v}{kT}\right) =N_c·\exp \left(- \frac{E_c - E_F}{kT}\right) \)

Ecuación que también podemos poner:

\(\displaystyle \begin{array}{l}
N_v\exp \left(- \frac{E_F - E_A}{kT}\right) \exp \left(- \frac{E_A - E_v}{kT}\right) = \\
 \\
= N_c\exp \left(- \frac{E_F - E_A}{kT}\right) \exp \left(- \frac{E_c - E_A}{kT}\right)
\end{array}\)

y reagrupando términos:

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\exp \left(- \frac{E_F - E_A}{kT}\right)= \\
 \\
= \sqrt{\frac{N_c}{N_v}\exp \left(- \frac{E_c - E_A}{kT}\right)\times \exp \left(- \frac{E_v - E_A}{kT}\right) }
\end{array}\)

Y quitando exponenciales:

\(\displaystyle E_F = \frac{1}{2}\left(E_c + E_v\right) - kT· \left(\frac{N_c}{N_v}\right) \)

Si T = 0 nos queda:

\(\displaystyle E_F = \frac{1}{2}\left(E_c + E_v\right) = \frac{1}{2}·E_g \)

Es decir que para T=0 la posición del nivel de Fermi es el centro de la banda prohibida.
Si el segundo término del segudo miembro puede despreciarse en comparación con los demás y nos queda:

\(\displaystyle N_v·\exp \left(- \frac{E_F - E_A}{kT}\right)\times \exp \left(- \frac{E_A - E_v}{kT}\right) = N_A \)

de donde resulta:

\(\displaystyle \exp \left(- \frac{E_F - E_A}{kT}\right) = \frac{N_A}{N_v}\exp \left(\frac{E_A - E_v}{kT}\right) \)

y quitando exponenciales:

\(\displaystyle E_F = - kT·\ln \left(\frac{N_A}{N_v}\right) + E_v \)

Es decir que la posición del nivel de Fermi se encuentra por debajo del nivel de valencia.