Ejercicios de física electrónica

Partiendo de la ecuación

\(\displaystyle I_{pn}(x) = \frac{A·q·D_p·p'_n(0)}{L_p}\times e^{-x/L} \)

que nos da la corriente en el lado n, y de la expresión correspondiente para , demostrar que la relación de la corriente de huecos a la de electrones que cruzan una unión p-n es igual a :

\(\displaystyle\frac{I_{pn}(0)}{I_{np}(0)} = \frac{\sigma_p·L_n}{\sigma_p·L_p}\)

donde \(\sigma_p \; y \; \sigma_n \) son las conductividades respectivas de las regiones p y n. Observese que esta relación depende del cociente de las conductividades. Por ejemplo, si se impurifica mucho más el lado p que el lado n, la corriente de huecos que cruza la unión será mucho mayor que la de electrones.

Respuesta del ejemplo 39

La corriente de difusión de huecos que cruza la unión hacia el lado n, I_pn(0) viene dada por la ecuación del enunciado, con x = 0, es decir:

\(\displaystyle I_{pn}(0) = \frac{A·q·D_p·p'_n(0)}{L_p} \)

Siendo p'(0) el exceso de huecos en x = 0, cuyo valor sabemos que es:

\(\displaystyle p'_n(0) = p_n(0) - p_{no} = p_{no}\left(e^{qV/kT}- 1\right) \)

Por lo tanto, tendremos:

\(\displaystyle I_{pn}(0) = \frac{A·q·D_p·p_{no}}{L_p}\left(e^{qV/kT}- 1\right) \)

Analogamente, para la corriente de difusión de electrones que cruzan la unión hacia el lado p, I_np(0), tendremos:

\(\displaystyle I_{np}(0) = \frac{A·q·D_n·n_{po}}{L_p}\left(e^{qV/kT}- 1\right) \)

por lo que la relación entre ambos valores sera:

\(\displaystyle \frac{I_{pn}(0)}{I_{np}(0)} = \frac{D_p·p_{no}}{D_n·n_{po}}\times \frac{L_n}{L_p} \)

y teniendo en cuenta las relaciones de Einstein

\(\displaystyle \frac{D_n}{\mu_n} = \frac{D_p}{\mu_p} = \frac{kT}{q} \Rightarrow \frac{D_n}{D_p} = \frac{\mu_n}{\mu_p} \)

Por otro lado sabemos que las movilidades están relacionadas con las conductividades por:

\(\displaystyle \sigma_p = q·\mu_p·p_p \quad ; \quad \sigma_n = q·\mu_n·n_n \Rightarrow \frac{\mu_n}{\mu_p} = \frac{\sigma_p·n_n}{\sigma_n·p_p } \)

con lo que finalmente llegamos a:

\(\displaystyle \frac{I_{pn}(0)}{I_{np}(0)} = \frac{D_pn_np_{no}}{D_np_pn_{po}}\times \frac{L_n}{L_p} = \frac{\sigma_p L_n}{\sigma_n L_p }\times\frac{n_i^2·e^{qV/kT}}{n_i^2·e^{qV/kT}} = \frac{\sigma_p L_n}{\sigma_n L_p} \)