Ejercicios de física electrónica
Calcúlese el número de estados electrónicos
por átomo contenidos en una esfera inscrita en las zonas
de Brillouin de las estructuras cúbica centrada en las
caras y cubica centrada en el interior (en el cuerpo).
Respuesta del ejemplo 35
Si llamamos Z al número de estados electrónicos
por átomo contenidos en una celda unidad, entonces Z/Vc
es el número de estados electrónicos por átomo
y por unidad de volumen.
Sabemos que el volumen de la celda nos viene dado por:
\(V_c = |\vec{a}_1\wedge\vec{a}_2\cdot \vec{a}_3|\)
En el caso de una estructura cúbica centrada en las caras,
los vectores fundamentales son
\(\displaystyle\begin{array}{l}
\vec{a}_1= \frac{a}{2}(\hat{i} + \hat{j})\quad ; \quad \vec{a}_2= \frac{a}{2}(\hat{k} + \hat{j}) \\
\\
\vec{a}_3= \frac{a}{2}(\hat{i} + \hat{k})
\end{array} \)
Por lo que tendremos:
\(\displaystyle V_c = \left|
\begin{array}{ccc}
a/2 & a/2 & 0 \\
0 & a/2 & a/2 \\
a/2 & 0 & a/2 \\
\end{array}
\right| = a^3/4\)
y de ahí que:
\(\displaystyle \frac{Z}{V_c} = \frac{4Z}{a^3}\)
Será el número de estados electrónicos por
átomo y por unidad de volumen.
Nos queda obtener el volumen de la esfera inscrita en la zona
de Brillouin. Para ello tenemos que los vectores de la red recíproca
son:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\vec{a}_1^*= \frac{2\pi}{a}(\hat{i} + \hat{j}- \hat{k})\quad ; \quad \vec{a}_2^*= \frac{2\pi}{a}(- \hat{i}+\hat{k} + \hat{j}) \\
\\
\vec{a}_3^*= \frac{2\pi}{a}(\hat{i}- \hat{j} + \hat{k})
\end{array} \)
y esto nos da para la anchura de la zona de Brillouin:
\(\displaystyle D = \frac{|a^*|}{2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{a}
\)
por lo que el volumen de la esfera inscrita será:
\(\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{\pi\sqrt{3}}{a}\right)^3
= \frac{4\pi^4}{a^3}\sqrt{3} \)
y el número de estados electrónicos por átomo
contenidos en dicho volumen será:
\(\displaystyle\frac{4Z}{a^3}V = \frac{16\pi^4\sqrt{3}Z}{a^9}
\)
En el caso de una cúbica centrada en el centro, los vectores
fundamentales son:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\vec{a}_1= \frac{2\pi}{a}(\hat{i} + \hat{j}- \hat{k})\quad ; \quad \vec{a}_2= \frac{2\pi}{a}(- \hat{i}+\hat{k} + \hat{j}) \\
\\
\vec{a}_3 = \frac{2\pi}{a}(\hat{i}- \hat{j} + \hat{k})
\end{array} \)
y los vectores de la red recíproca:
\(\displaystyle \vec{a}_1^*= \frac{a}{2}(\hat{i} + \hat{j})\quad
; \quad \vec{a}_2^*= \frac{a}{2}(\hat{k} + \hat{j})\quad ; \quad
\vec{a}_3^*= \frac{a}{2}(\hat{i} + \hat{k}) \)
Estos valores nos dan:
\(\displaystyle V_c = \left(\frac{a}{2}\right)^3 \left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
\end{array}
\right| = \frac{a^3}{2} \quad ;\quad D = \frac{|a^*|}{2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{a}\)
Y a partir de ellos tendremos:
\(\displaystyle \frac{Z}{V_c} = \frac{2Z}{a^3}\quad ;\quad V
= \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{\pi\sqrt{2}}{a}\right)^3
= \frac{16\pi^4\sqrt{2}}{3a^3}\)
Por lo que finalmente:
\(\displaystyle N = \frac{2Z}{a^3}V = \frac{32\pi^4\sqrt{2}Z}{3a^3}\)
y este es el número de estados electrónicos por
átomo contenidos en una esfera inscrita en la zono de Brillouin
de una estructura cúbica centrada en el interior.