Ejercicios de física electrónica

Como continuación del supuesto estudiado en el ejercicio número 5, si la energía de un haz de electrones es de 10 eV y la energía potencial del escalón es de 1 eV, ¿cual será la razón de las amplitudes \( A_r/A_i \; y \; A_t/A_i \) ?; ¿cual será la razón de las densidades de los haces reflejados a incidentes y de los transmitidos a incidentes,

\(\displaystyle \frac{A_r · A_r^*}{A_i · A_i^*} \qquad ; \qquad \frac{A_t · A_t^*}{A_i · A_i^*} \)

respectivamente?.

Respuesta del ejemplo 6

Consideramos la solución de la ecuación de Schrödinger obtenida en el ejercicio anterior; por la continuidad de y de su derivada primera en x = 0, tendremos

\( A_i + A_r = A_t \quad ; \quad k_1\left(A_i - A_r\right) = k_2 · A_t \)

de donde resulta:

\(\displaystyle \frac{A_r}{A_i} = \frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} \quad ; \quad \frac{A_t}{A_i} = \frac{2 · k_1}{k_1 + k_2} \qquad (\ast) \)

y teniendo en cuenta valores numéricos:

\(\displaystyle \frac{A_r}{A_i} = \frac{\sqrt{E} - \sqrt{E-V_0}}{\sqrt{E} + \sqrt{E-V_0}} = 0,026 \; ; \; \frac{A_t}{A_i} = \frac{2 \sqrt{E}}{\sqrt{E} + \sqrt{E-V_0}} = 1,026 \)

Puede demostrarse que la densidad de probabilidad satisface la ecuación de continuidad:

\(\displaystyle \frac{\partial P}{\partial t} + \vec{\nabla}· \vec{j} = 0 \quad ; \quad \textrm{ con } \vec{j} = \frac{\hbar}{2mi}\left[\Psi^\ast · \vec{\nabla}\Psi - (\nabla · \Psi ^\ast)\Psi\right] \)

donde j recibe el nombre de densidad de corriente de probabilidad, que para el caso que estamos considerando valdrá, en x < 0 :

\(\displaystyle j = \frac{\hbar}{m} · k_1 \left(A_i^\ast · A_i - A_r^\ast · A_r \right) \)

Y análogamente, en x > 0:

\(\displaystyle j = \frac{\hbar}{m} · k_2 \left(A_t^\ast · A_t \right) \)

La igualdad de estos dos valores está asegurada por la ecuación de continuidad, que para un estado estacionario y en una dimensión se reduce a la forma dj/dx = 0. Por lo tanto:

\(\displaystyle \frac{\hbar}{m} · k_1 \left(A_i^\ast · A_i - A_r^\ast · A_r \right) = \frac{\hbar}{m} · k_2 \left(A_t^\ast · A_t \right) \)

Expresión que también podemos poner:

\(\displaystyle \frac{A_r^\ast · A_r}{A_i^\ast · A_i} + \frac{k_2}{k_1} · \frac{A_t^\ast · A_t}{A_i^\ast · A_i} = 1 \Rightarrow \frac{\left|A_r\right|^2}{\left|A_i\right|^2} + \frac{k_2}{k_1} · \frac{\left|A_t\right|^2}{\left|A_i\right|^2} = 1 \)

Si en este punto tenemos en cuenta la expresión (*) obtenida anteriormente, resulta:

\(\displaystyle \frac{\left|A_r\right|^2}{\left|A_i\right|^2} = \frac{\left(k_1 - k_2\right)^2}{\left(k_1 + k_2\right)^2} \quad ; \quad \frac{k_2}{k_1} · \frac{\left|A_t\right|^2}{\left|A_i\right|^2} = \frac{4 · k_1k_2}{\left(k_1 + k_2\right)^2} \)

Y considerando valores numéricos

\(\displaystyle \frac{\left|A_r\right|^2}{\left|A_i\right|^2} = 6,9 \times 10^{-4} \quad ; \quad \frac{\left|A_t\right|^2}{\left|A_i\right|^2} = \frac{4 · k_1^2}{\left(k_1 + k_2\right)^2} = 1,05\)