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RELACIÓN ENTRE LA TRANSFORMADA Z Y LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

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FILTROS DIGITALES RECURSIVOS Y LA TRANSFORMADA Z

Relación entre la transformada z y la respuesta en frecuencia.

Haciendo \( z = e^{jw} \) se desprende de (2·4) que:

    \( \displaystyle \left. H(z)\right|_{z = e^{jw}}= \sum_{i=-\infty}^{\infty}h_i\left(e^{jw}\right)^{-i} = \sum_{i=-\infty}^{\infty}h_i·e^{-jwi} = H(w)\quad (3·4) \)
Así pues, el círculo unidad central en el origen, puesta en frecuencia es la transformada z.


Ejemplo: La transformada z de un filtro causal no recursivo viene dada por:

    \( \displaystyle H(z)= \sum_{i=0}^{\infty}c_i·z^{-i} \)
Esto es así porque sabemos que se cumple \( c_i = h_i\) por lo cual, aplicando lo dicho para obtener la ecuación (2·4):
    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=0}^{m}c_i·x_{k-i}= \sum_{i=0}^{m}h_i·x_{k-i}=\sum_{i=0}^{m}h_i·z^{k-i}= z^k·H(z) \)
Ejemplo: Transformada z de un filtro recursivo simple:
    \( y-k = c_o·x_k + d_1·y_{k-1} \)
Para este filtro su respuesta impulsional viene dada por:
    \( \begin{array}{l}
    h_o = c_o·i_o + d_1·y_{-1}= c_o \\
     \\
    h_1 = c_o·i_1 + d_1·y_o = d_1·c_o \\
     \\
    h_2 = c_o·i_2 + d_1·y_1 = d_1(d_1·c_o)=c_o(d_1)^k
    \end{array} \)
A partir de lo anterior tenemos:
    \( h_k = \left\{
    \begin{array}{l}
    c_o(d_1)^k\qquad k > 0 \\
     \\
    0 \qquad\quad k < 0 \\
    \end{array}
    \right. \)
Y la transformada z de esta expresión será:
    \( \displaystyle H(z) = \sum_{k=0}^{\infty}h_k·z^{-k}= \sum_{k=0}^{\infty}c_o(d_1)^k·z^{-k} = c_o\sum_{k=0}^{\infty}(d_1·z^{-1})^k \)
Ahora bien, siempre que se tenga \( |d_1z^{-1}|< 1 \) , la suma anterior será convergente y tendremos:
    \( \displaystyle H(z) = \frac{c_o}{1 - d_1·z^{-1}} \)
Es decir, la transformada z de un filtro recursivo simple es una función racional con los coeficientes de la parte no recursiva en el numerador y los coeficientes de la parte recursiva en el denominador.

Monografía en 4 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: Formulación de H(z) para un filtro general



Página publicada por: José Antonio Hervás