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RESPUESTAS INTERESANTES DE LOS FILTROS

monografías

INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN AL ESTUDIO DE FILTROS DIGITALES

En el análisis de filtros digitales suelen emplearse como herramientas habituales las respuestas de estos a distintas funciones conocidas. La expresión matemática y la gráfica de tres de estas funciones son:
    \( \displaystyle \begin{array}{ccccc}
    i_k = \left\{
    \begin{array}{l}
    1\quad si\; k=0 \\
    0\;en\;otro\;caso \\
    \end{array}
    \right.
    &  & r_k = \left\{
    \begin{array}{l}
    k\quad si\; k\geq 0 \\
    0\;en\;otro\;caso \\
    \end{array}
    \right. &  & s_k = \left\{
    \begin{array}{l}
    1\quad si\; k\geq0 \\
    0\;en\;otro\;caso \\
    \end{array}
    \right.
    \end{array} \)

funciones impulso, rampa y salto

Nosotros por el momento, nos ceñiremos al estudio de la respuesta a la función impulso y dividiremos este estudio en dos partes.
Respuesta impulsional de un filtro no recursivo general.

Como sabemos, la expresión general de un filtro no recursivo es:

    \( \displaystyle y_k = \sum_{-m}^{m}c_i·x_{k-i} \)
Si aplicamos cómo entrada la función impulso, tendremos:
    \( \displaystyle x_k = i_k = \left\{
    \begin{array}{l}
    1 \quad si\;k = 0 \\
     \\
    0 \quad si\; k \neq 0 \\
    \end{array}
    \right. \Rightarrow x_{k-i} = \left\{
    \begin{array}{l}
    1 \quad si\;k = i \\
     \\
    0 \quad si\; k \neq i \\
    \end{array}
    \right.\qquad (3·1) \)
Y esto nos da:
    \( \displaystyle y_k = h_k = \sum_{-m}^{m}c_i·x_{k-i} = c_k\qquad (4·1) \)
Es decir, que la respuesta k-esima a una entrada impulso es el valor del coeficiente k-ésimo del filtro. Está claro que tenemos entonces el procedimiento para medir los coeficientes de un filtro no recursivo. Si en los instantes k = 0, 1, 2,... aplicamos un impulso al filtro obtendremos un esquema como el representado.

filtro no recursivo


Podemos ver que la longitud de la parte no nula de la respuesta impulsional coincide con el número de coeficientes del filtro no recursivo. Esto es, un filtro no recursivo tiene una respuesta impulsional finita, de ahí el otro nombre con el que también se les conoce (FIR, Finite Impulse Response)

Respuesta impulsional de un filtro recursivo general.-

Para este caso la expresión general del filtro es:

    \( \displaystyle y_k = \sum_{-m}^{m}c_i·x_{k-i} + \sum_{i}^{n}d_j·x_{k-j}\)
Sí aplicamos como entrada la función impulso (3·1) resulta:
    \( \displaystyle y_k = h_k = \sum_{-m}^{m}c_i·x_{k-i} + \sum_{i}^{n}d_j·x_{k-j} = c_k + \sum_{i}^{n}d_j·x_{k-j}\qquad(5·1)\)
Y no podemos dar una interpretación análoga a la dada para un filtro no recursivo.
De (5·1) se deduce que la respuesta impulsional de un filtro recursivo no tiene por que anularse.Esto justifica su otro nombre (IIR, Infinite Impulse Response).
Como ejemplo vamos a estudiar la respuesta impulsional de un filtro recursivo simple dado por:
    \( y_k = c_o·x_k + d_1·_{k-1} \)
El filtro es causal, es decir, \( y_k = 0\) para \( k < 0\) . Sí aplicamos una entrada impulso resulta:
    \( \begin{array}{l}
    y_o = c_o·i_o + d_1·h_{c-1} = c_o \\
     \\
    y_k = c_o·0 + d_1·y_{k-1} = d_1·y_{k-1} \quad ,\; k\neq 0
    \end{array} \)
Una representación de esta función para distintos valores del coeficiente \( d_1 \) nos la da la gráfica adjunta en la que puede apreciarse lo dicho respecto a una posible respuesta infinita.
respuesta impulsional de un filtro recursivo simple


Respuesta impulsional y relación entrada-salida

Sabemos que en el caso de un filtro no recursivo, una entrada impulso \( i_k \) nos da como salida el valor del coeficiente \( c_k \) del filtro, por lo tanto, para una entrada general tendremos:

    \( \displaystyle y_k = \sum_{-m}^{m}c_i·x_{k-i} \quad (c-i = h_i) \Rightarrow y_k = \sum_{i=-m}^{m}h_i·x_{k-i}\qquad (6·1) \)
Es decir, que la salida de un filtro digital no recursivo es simplemente la convolucion de la entrada y la respuesta impulsional del filtro.
Para un filtro recursivo en el que la salida impulsional no tiene fácil interpretación haremos:
    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=-m}^{m}c_i·x_{k-i} + \sum_{j=1}^{n}d_j·y_{k-j}\)
Las condiciones iniciales de trabajo son:
    \( y_{-\infty} = 0 \;(reposo)\quad ; \quad x_k = 0\;\; para\; k<0 \)
A partir del coeficiente -m tendremos:
    \(\begin{array}{l}
    y_{-m}=c_{-m}·x_o \\
     \\
    y_{-m+1} = d_o(c_{-m}·x_o) + c_{-m}·x_1+ c_{-m+1}·x_o \\
     \\
    y_{-m+2} = d_o(d_oc_{-m}x_o + c_{-m}x_1+ c_{-m+1}x_o )+c_{-m}x_2 + c_{-m+1}x_1 + c_{-m+2}x_o
    \end{array} \)
De esta forma observamos que no podemos encontrar una relación de convolucion entre la entrada y la salida.
Ejemplo, calcular la salida de filtro digital no recursivo caracterizado por la siguiente respuesta impulsional y entrada:
    \( \displaystyle h_k = \quad\left\{
    \begin{array}{l}
    1 \quad para\quad k =-1,0,1 \\
     \\
    2 \quad para \quad k=2,3\\
     \\
    0 \quad para \quad k> 3 \\
    \end{array}
    \right.\qquad ; \qquad x_k\left\{
    \begin{array}{l}
    2\quad para \;k=0,1,2 \\
     \\
    0\quad para \; k>2 \\
    \end{array}
    \right. \)
Respuesta.- la representación gráfica de las dos funciones está representada en la figura adjunta.

Señales a convolucionar
El porblema que tenemos que resolver es obtener la convolución discreta de las dos señales anteriores. Esto es, tener para todo k:
    \( \displaystyle y_k = \sum_{-m}^{m}h_i·x_{k-i} \)
Para valores que cumplan \( -2\leq k \leq 6 \) se tiene \( y_k = 0\) . Desarrollamos los pasos para los dos valores extremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    y_{-1}= \sum_{-2}^{6}h_i·x_{-1-i} = \left\{
    \begin{array}{l}
    i=-2 \Rightarrow h_{-2}·x_1 = 0\times 2 \\
    i=-1 \Rightarrow h_{-1}·x_0 = 1\times 2 \\
    i=0 \Rightarrow h_{0}·x_{-1} = 1\times 0 \\
    i=1 \Rightarrow h_{1}·x_{-2} = 0\times 0 \\
    \end{array}
    \right\}= 2
    \\
     \\
    y_{+5}= \sum_{-2}^{6}h_i·x_{+5-i} = \left\{
    \begin{array}{l}
    i=-2 \Rightarrow h_{2}·x_3 = 2\times 0 \\
    i=3 \Rightarrow h_{3}·x_2 = 2\times 2 \\
    i=4 \Rightarrow h_{4}·x_{1} = 0\times 2 \\
    i=5 \Rightarrow h_{5}·x_{0} = 0\times 2 \\
    \end{array}
    \right\}= 4
    \end{array} \)
Para los demás valores tenemos:
    \( y_0 = 4 \; ; \; y_1 = 6 \; ;\; y_2 = 8 \; ;\; y_3 = 10 \; ;\; y_4 = 8 \)
Y esto nos da la gráfica de la figura de la derecha que está junto a las gráficas de las dos funciones a convolucionar.
representación grafica  de la convolución discreta de dos funciones a' y a"representación grafica  de la convolución discreta de dos funciones

Representación gráfica de la convolución discreta. Las figuras a' y a" son las funciones a convolucionar, la b es la convolución.

Monografía en 7 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: Propiedades de los filtros digitales



Página publicada por: José Antonio Hervás