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PROPIEDADES DE LOS FILTROS DIGITALES

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INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN AL ESTUDIO DE FILTROS DIGITALES

Las propiedades más importantes que posee un filtro digital son superposición, homogeneidad e invarianza en el tiempo.

Propiedad de superposición.- dado un filtro digital, \( \mathfrak{D} \) , sí dice que este cumple la propiedad de superposición, sí para todo par de entradas \( x_k \; y \; u_k \) , se verifica :

    \( f(x_k + u_k) = f(x_k) + f(u_k) \)
Es decir, que la respuesta a la suma de las entradas es igual a la suma de las respuestas.

Propiedad de homogeneidad.- dado en filtro digital, \( \mathfrak{D} \) , sí dice que este cumple la propiedad de homogeneidad, está entrada \( x_k \) y para todas constante \( a \) se verifica:

    \( f(a·x_k) = a·f(x_k)\)
Un filtro digital es lineal si cumple propiedades anteriores.

Teorema
Los filtros recursivos y no recursivos son lineales.

Demostración
Lo haremos para el caso de un filtro recursivo. Sean las entradas \( x_k \; y \; u_k \) tenemos.

    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=-m}^{m}c_i·x_{k-i} + \sum_{i=1}^{n}d_i·y_{k-i} \; ;\; v_k = \sum_{i=-m}^{m}c_i·u_{k-i} + \sum_{i=1}^{n}d_i·v_{k-i} \)
Y sumando miembro a miembro:
    \( \displaystyle y_k + v_k = \sum_{i=-m}^{m}c_i·x_{k-i} + \sum_{i=1}^{n}d_i·y_{k-i} + \sum_{i=-m}^{m}c_i·u_{k-i} + \sum_{i=1}^{n}d_i·v_{k-i} \)
Por otro lado, aplicando una entrada suma de las dos anteriores resulta:
    \( \displaystyle z_k = \sum_{i=-m}^{m}c_i·r_{k-i} + \sum_{i=1}^{n}d_i·z_{k-i} + \sum_{i=-m}^{m}c_i·(x_{k-i}+u_{k-i}) + \sum_{i=1}^{n}d_i·z_{k-i} \)
Pero como se tiene que cumplir que para una misma entrada las salidas recursiva y no recursiva sean iguales:
    \( \displaystyle\sum_{i}^{n}d_i·z_{k-i} = \sum_{i}^{n}d_i(y_{k-i} + v_{k-i}) = \sum_{i}^{n}d_i·y_{k-i}+ \sum_{i}^{n}d_i·v_{k-i} \)
Y a partir de ahí:
    \( z_k = y_k + v_k\)
Consideremos ahora que aplicamos una entrada de la forma \( a·x_k \) . La salida será:
    \( \displaystyle z_k = \sum_{-m}^{m}c_i·a·x_{k-i} + \sum_{1}^{n}d_i·z_{k-i} \)
Sí \( a\neq 0 \) podemos hacer:
    \( \displaystyle \frac{1}{a}·z_k = \sum_{-m}^{m}c_i·x_{k-i} + \sum_{1}^{n}d_i·\frac{1}{a}·z_{k-i} \)
Y cómo se debe cumplir una misma entrada las salidas recursiva y no recursiva sean iguales, tendremos:
    \( \displaystyle \frac{1}{a}·z_{k-i} = y_{k-1} \Rightarrow \frac{1}{a}·z_k = y_k \Rightarrow z_k = a·y_k \)
Con lo que queda demostrado el teorema.

Propiedad de invarianza frente a desplazamientos.
Dado un filtro digital, \( \mathfrak{D} \) , sí dice que \( \mathfrak{D} \) es invariante en el tiempo si cuando se desplaza la secuencia de entrada desde un índice k hasta un índice k+r la salida queda desplazada en la misma magnitud:

    \( x_k \rightarrow y_k \Rightarrow x_{k+r}\rightarrow y_{k+r} \)

Teorema
Un filtro recurrente es invariante frente a desplazamientos.

Demostración.
Está claro que la misma propiedad la complirán los filtros no recurrentes.
Si a un filtro \( \mathfrak{D} \) al que aplicamos una entrada \( x_k \) :

    \( \displaystyle y_k = \sum_{-m}^{m}c_i·x_{k-i} + \sum_{1}^{n}d_i·y_{k-i} \)
Si desplazamos la entrada desde el índice k hasta el índice j+k tendremos una salida de la forma:
    \( \displaystyle z_j = \sum_{-m}^{m}c_i·x_{j+r-i}+ \sum_{i}^{n}d_i·z_{j-i}\)
Y haciendo \( j+r = k \Rightarrow j = k-r \) nos queda:
    \( \displaystyle z_{k-r} = \sum_{-m}^{m}c_i·x_{k-i}+ \sum_{i}^{n}d_i·z_{k-r-i} \)
Pero como las salidas recursiva y no recursiva deben ser iguales para una misma entrada:
    \( z_{k-r} = y_k \Rightarrow z_k = y_{k+r} \)
Revisión de la respuesta impulsional
Consideremos un filtro no recursivo al que se le aplica una entrada de la forma:
    \( \displaystyle x_k = \sum_{j=-\infty}^{\infty}x_j·i_{k-j} \)
Esto es, una entrada como suma de impulsos desplazados. Tenemos:
    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=-m}^{m}c_i·x_{k-i} = \sum_{i=-m}^{m}c_i\left(\sum_{j=-\infty}^{\infty}x_j·i_{k-i-j}\right) \)
Y aplicando las propiedades de superposición y homogeneidad:
    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=-m}^{m}\sum_{j=-\infty}^{\infty}c_i·i_{k-j-i}·x_j \)
Pero sabemos que se cumple:
    \( \displaystyle \sum_{i=-m}^{m}c_i·i_{k-i-j} = h_{i-j} \)
Por lo cual:
    \( \displaystyle y_k = \sum_{j=-\infty}^{\infty}h_{k-j}·x_j \)
Y haciendo \( k-j = r \) :
    \( \displaystyle y_k = \sum_{j=-\infty}^{\infty}h_r·x_{k-r} \)
Qué es el producto de convolución ya encontrado anteriormente.

Monografía en 7 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: Combinación de filtros digitales



Página publicada por: José Antonio Hervás