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FILTROS DIGITALES - PROCESO DE MUESTREO

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INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN AL ESTUDIO DE FILTROS DIGITALES

Convertidores analógico - digital (A/D).- Un filtro digital opera, en esencia, de la siguiente forma: Instante t = k·T es muestreada la señal analógica de entrada por un circuito de muestreo y mantenimiento. Resulta si un valor constante igual al valor de muestreo, y la señal de entrada es convertida en una forma de onda escalonada. El margen total de tensiones de esta señal es dividido en intervalos iguales (proceso llamado cuantificación) y cualquier amplitud comprendida en un intervalo dado de cuantificación es convertida en un número especificado en forma de palabra digital por medio del convertidor A/D.
La cuantificación es una aproximación necesaria cuando se digitaliza una señal, por lo que resultará un número finito de números digitales. Realmente la palabra digital existente en la salida del convertidor puede ser codificada en la forma que se desee, y ordinariamente se emplea el sistema de complemento a 2.
La diferencia entre la señal real y la muestreada se llama " error de cuantificación" y siempre es menor que el ruido que acompaña a aquella por lo que el diseñador lo analiza dentro de este.
Existen dos tipos fundamentales de cuantificadores, a saber:
    Cuantificador por redondeo
    Cuantificador por truncamiento

Cada uno de ellos se basa en el efecto que recibe su nombre, es decir, en el primero, bebidas cuya magnitud sobrepase el valor \( (n+1/2)q \) pasan a valer \( (n+1)q \) y las que no, pasan a valer \( n·q\)
En el segundo método todas las medidas que no lleguen a \( n·q\) pasan a valer \( (n-1)q \)
Los esquemas de funcionamiento de ambos métodos están representados en la figura adjunta.

cuantificador por redondeo y cuantificador por truncamiento

Para un mismo valor de q es más interesante el cuantificador de redondeo pues, en todo caso, el error de cada medida es menor que q/2.
Problema de la selección del periodo de muestreo

Problema de la selección del periodo de muestreo

La cuestión que nos hemos planteado es la representación de la función f(t) en términos de los valores f(nT) toma dicha función en una secuencia de. Champix, y naturalmente nos interesa que la serie de valores f(nT) nos reproduzca lo más fielmente posible la señal que estamos tratando. Una solución inmediata es muestrear la señal analógica lo más rápidamente posible pero esto resulta muy costoso y es necesario considerar otras posibilidades.
Como regla práctica hemos de tener en cuenta que la velocidad de muestreo debe estar íntimamente relacionada con las fluctuaciones de la señal que se va a investigar. Todos los casos posibles se encuentran entre los dos extremos representados en la figura adjunta
señalconstanteseñal que cambia instantáneamente

Una señal que presenta discontinuidades no se puede representar visualmente utilizando una señal discreta (no importa cuán próximos estén los muestreos) siempre existirá una ambigüedad de T segundos de donde realmente se produjo el cambio.
Para aclarar ideas, supongamos que la señal de entrada que queremos investigar es:
    \( x(t) = \cos wt \)
Sabemos que esta señal varía más rápidamente si aumenta su frecuencia (w) por tanto, sí digitalizamos \( x(t) \) :
    \( x(t) \rightarrow x_k = \cos k·Tw \)
El producto \( Tw \) determina cuál rápidamente varía la señal con el índice k; esto es, si llamamos frecuencia normalizada a \( Tw \) , tenemos que dicha frecuencia normalizada puede variar con \( w \) o con T y, puesto que T es una variable entera, las nociones de frecuencia y variaciones de la señal deben alterarse.
muestreo de una señal sinuidal

Para solucionar algunos de los problemas que surgen al digitalizar una señal periódica, el cambio:
    \( wT = w' + \Omega \qquad ;\quad con\; |w'| < \pi \quad y \quad \Omega = n·2\pi \qquad (1·1)\)
digitalización de una señal periódica

A partir del cambio desarrollado tendremos:
    \( x_k = \cos k·Tw = \cos[k(w'+\Omega)] = \cos k·w' \)
Esto es, la señal coseno digital depende únicamente de la parte de la frecuencia normalizada que es menor que \( \pi \) y es independiente de \( \Omega \) .
Este enfoque del problema implica ambigüedad ya que es posible que dos señales analógicas de diferentes frecuencias generan señales digitales idénticas. Por ejemplo:
    \( \displaystyle \left.
    \begin{array}{c}
    x(t) = \cos wt \rightarrow x_k = \cos k·Tw \\
     \\
    x(t) = \cos\left(w+\frac{2\pi}{T}\right)\rightarrow x_k = \cos(k·Tw + 2\pi k) = \cos k·Tw \\
    \end{array}
    \right\}\quad igual \; a x_k \)
Es decir, que a través del proceso de muestreo, cosenos de frecuencias diferentes pueden asumir la misma "identidad digital".
En fenómeno anterior se conoce con el nombre de "ALIASING" y para evitarlo el periodo de muestreo se deberá elegir lo suficientemente pequeño como para acomodar las variaciones de la señal analógica, es decir, tomando \( \Omega \simeq 0 \) .
Si en (1·1) hacemos \(\Omega = 0 \) resulta:
    \( \displaystyle |wT| < \pi \Rightarrow T < \frac{\pi}{w} \)
Si hay distintas señales, el periodo de muestreo se elegirá en la forma:
    \( \displaystyle T < \frac{\pi}{w_i}\)
Dónde \( w_i \) es la mayor frecuencia del conjunto.

Monografía en 7 capítulos: Filtros digitales

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Página publicada por: José Antonio Hervás