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DEFINICIÓN DE FILTROS DIGITALES

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INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN AL ESTUDIO DE FILTROS DIGITALES

Un filtro digital es un sistema discreto, lineal, variante en el tiempo en el que las sucesiones de entrada y salida verifican una ecuación en diferencias:
    \( \displaystyle \sum_{i=0}^{m}c_i·x_{k-i}- \sum_{i=0}^{l}b_i·y_{k-i} = 0 \)
Donde al menos \( c_o \; y \; b_o \) son distintos de 0, o bien:
    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=0}^{m}c_i·x_{k-i}+ \sum_{i=0}^{l}d_i·y_{k-i} = 0 \qquad ; \quad con \; d_i = - b_i \qquad (2·1) \)
Dónde \( x_k \) es la sucesión de entrada (señal de entrada) e \( y_k \) es la sucesión de salida (señal de salida) y
    \( c_o,...,c_m \: ,\: d_1, ... , d_n \)
Denominadas coeficientes de un filtro.
Los filtros digitales pueden clasificarse en filtros no recursivos (también conocidos como Filtros FIR) y filtros recursivos (o filtros IIR). Para los primeros se tiene \( d_i = 0\) con lo cual (2·1) toma la forma:
    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=0}^{m}c_i·x_{k-i} \)
La siguiente salida \( y_{k+1} \) se genera de la misma forma que \( y_k \) pero en este caso los datos se mueven una posición hacia la izquierda:
    \( \displaystyle y_{k+1} = \sum_{i=0}^{m}c_i·x_{k+1-i} \)

Para los filtros recursivos se verifica que al menos algún \( b_i \) es distinto de 0. En este caso la ecuación que rige es:

    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=0}^{m}c_i·x_{k-i} + \sum_{i=0}^{l}d_i·y_{k-j} \qquad (2·1') \)
El esquema de formación de los términos viene representado en el esquema adjunto y hay que tener en cuenta que estos filtros actúan de forma secuencial, es decir, la salida k se debe calcular antes que la salida k+1.
Cómo ejemplo vamos a calcular el término K-esimo de un filtro recursivo dado por:
    \( y_k = 0,14·x_{k-2}+ 1,77·y_{k-1}-1,19·y_{k-2}+0,28·y_{k-3} \)
En este caso los coeficientes del filtro son:
    \( c_2 = 0,14 \; ; \; d_1 = 1,77 \; ;\; d_2 = - 1,19 \; ;\; d_3 = 0,28 \)
Inicialmente el filtro está en reposo, luego se tiene:
    \( x_k = 0 \; ,\; para\; k < 0 \quad ; \quad x_k = k+1 \quad para\; k \geq 0 \)
Con esto podemos formar la siguiente tabla:
k \( x_{k-2} \) \( c_2x_{k-2} \) \( y_{k-1} \) \( d_1y_{k-1} \) \( x_{k-2} \) \( d_2y_{k-2} \) \( y_{k-3} \) \( d_3y_{k-3} \) y_k

0

1

2

3

4

5

0

0

1

2

3

4

0

0

0,14

0,28

0,42

0,56

0

0

0

0,14

0.53

1,18

0

0

0

0,25

0,93

2,09

0

0

0

0

0,14

0,53

0

0

0

0

-0,17

-0,63

0

0

0

0

0

0,14

0

0

0

0

0

0,04

0

0

0,14

0,53

1,18

2,06


En la tabla se aprecia que las columnas \( y_{k-1} , y_{k-2} \quad e \quad y_{k-3} \) están desplazadas respectivamente 1, 2 y 3 posiciones respecto a la columna \( y_k \) .
Esquema de funcionamiento de un filtro recursivo

Monografía en 7 capítulos: Filtros digitales

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Página publicada por: José Antonio Hervás