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VENTANAS

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DISEÑO DE FILTROS NO RECURSIVOS. VENTANAS

respuesta en frecuencia deseada de un filtro PASO-BAJA

En la figura adjunta volvemos a reproducir la gráfica de la respuesta en frecuencia deseada de un filtro PASO-BAJA y y a continuación las gráficas de la respuesta en frecuencia real, H(w) para tres filtros de distinta longitud.
respuesta en frecuencia deseada de un filtro PASO-BAJA
Truncación de un filtro paso- baja

A la vista de estas gráficas podemos decir que el rizado y la región de transición no se originan en el cálculo de Fourier si no como resultado de la truncación de un filtro de longitud infinita.
Vamos entonces, a expresar matemáticamente la acción de truncación y ver cómo está afecta a la respuesta en frecuencia.
Para pasar de los términos de Fourier a los coeficientes del filtro tenemos el siguiente esquema:

    \( h_i \; ;\; i \; ;\; 1\: , ..., \infty\quad \overrightarrow{TRUCACION} \quad c_1 \; ;\; i = -m \: , ..., m \)
A partir de esto vamos a definir una función matemática denominada ventana uniforme de (2m+1) puntos, dada por:
    \( w_i = \left\{
    \begin{array}{l}
    1\quad si\quad |i| \leq m \\
     \\
    0\quad si\quad |i| > m \\
    \end{array}
    \right.\qquad\qquad (16·3)\)
Los \( w_i \) reciben el nombre de coeficientes de ventana y por medio de ellos podemos escribir el efecto de truncación en la forma.
    \( c_i = w_i·h_i\qquad\qquad (17·3) \)
Efectos de las truncación sobre la respuesta en frecuencia

Aunque una ventana no es un filtro sino una operación, podemos definir una "respuesta de ventana" dada por:

    \( \displaystyle W(w) = \sum_{i=-m}^{m}w_i·e^{-jwi} = \sum_{i=-\infty}^{\infty}w_i·e^{-jwi}\qquad\qquad (18·3) \)
Al mismo tiempo, sabemos que la respuesta en frecuencia deseada, D(w) la respuesta en frecuencia real del filtro, H(w) pueden expresarse respectivamente por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    D(w) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}h_i·e^{-jwi} \\
     \\
    H(w) = \sum_{i=-m}^{m}c_i·e^{-jwi} = \sum_{i=-\infty}^{\infty}c_i·e^{-jwi}\qquad\qquad (19·3)
    \end{array}\)
En el primero y último caso hemos pasado de sumatorios finitos a infinitos porque tenemos truncación.
Nos surge ahora el problema de relacionar las tres funciones anteriores y el objetivo que nos proponemos es obtener H(w) cómo función de D(w) y W(w). Para ello consideramos: Respuesta de la ventana y convolución

Monografía en 4 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: Respuesta de la ventana. Convolución



Página publicada por: José Antonio Hervás