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VENTANA UNIFORME

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DISEÑO DE FILTROS NO RECURSIVOS. VENTANAS

Los coeficientes de la ventana uniforme vienen dados por la expresión (16·3)

    \( w_i = \left\{
    \begin{array}{l}
    1\quad si\quad |i| \leq m \\
     \\
    0\quad si\quad |i| > m \\
    \end{array}
    \right.\)
Y la respuesta de ventana:
    \( \displaystyle W(w) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}w_i·e^{-jwi} = \sum_{i=-m}^{m}e^{-jwi} = 1 + 2\sum_{i=1}^{m}\cos w·i \)
Donde hemos tenido en cuenta las fórmulas de Euler y la repetición del índice i.(el 1 sale de considerar \( e^{-jw0} = 1 \) )
La expresión anterior puede transformarse teniendo en cuenta las fórmulas de sumación de una progresión geométrica:
    \( \displaystyle S_n = a_i·\frac{q^n- 1}{q - 1} = e^{jmw}·\frac{e^{-j(2m+1)w}- 1}{e^{-jw}- 1} \)
Sacando factor común \( \exp[-jw(2m+1)/2] \) en el numerador, y \( \exp (-jw/2) \) en el denominador, simplificando y teniendo en cuenta la expresión exponencial de las funciones trigonométricas, si llega finalmente a:
    \( \displaystyle W_u(w) = \frac{\sin [w(2m+1)/2]}{\sin (w/2)} \)

Si representamos gráficamente está función se obtiene la figura adjunta.
definición de los lóbulos principales y laterales

Puede apreciarse en ella un lóbulo central y una serie de lóbulos laterales situados simétricamente.
Los lóbulos laterales se caracterizan por presentar oscilaciones que pasan por cero en múltiplos de \( 2\pi/(2m+1) \) y tienen amplitudes decrecientes cuando la ventana se hace más grande ( \( (m\uparrow) \) ) el lóbulo principal se hace más estrecho y más alto, y los lóbulos laterales se concentran más en torno a w.
ventana uniforme

Para obtener la respuesta en frecuencia del filtro truncado vamos a aplicar esta respuesta de la ventana y la convolución periódica determinada anteriormente. Para ello, en primer lugar, separamos la contribución del lóbulo principal de los lóbulos laterales.
Lóbulo principal y lóbulos laterales

Teniendo en cuenta las figuras podemos hacer:

    \( W(w) = M(w) + S(w)\)
Y de ahí:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    H(w) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}W_u(w-s)·D(s)·ds = \\
     \\
    = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}M(w-s)·D(s)·ds + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}S(w-s)·D(s)·ds
    \end{array} \)
Mediante esta separación podemos investigar independientemente el impacto del lóbulo principal y de los lóbulos laterales.
La convolución de la respuesta deseada y el lobulo principal origina el "ensanchamiento" de la región de transición del filtro. Puede demostrarse que el ensanchamiento es aproximadamente la anchura del lóbulo principal \( 4\pi/(2m+1) \) . De acuerdo con nuestra apreciación anterior,el filtro se hace más largo ( \( (m\uparrow) \) ) el lóbulo principal se estrecha y el ensanchamiento de la región de transición disminuye.
 Convolución de la respuesta y el lóbulo principal

La conducción de la respuesta deseada y los lóbulos laterales da lugar al rizado en la respuesta en frecuencia del filtro.
Cuando los lóbulos laterales se desplazan a través de la zona de transición, la convolución genera un resultado oscilatorio. La amplitud del rizado está determinada por la amplitud de los lóbulos laterales.

 Convolucion de la respuesta y los lóbulos laterales

Fenómeno de Gibbs para la ventana uniforme
J. W. Gibbs demostró que un filtro PASO-BAJA poseerá un rizado máximo del 8,9% del cambio de ganancia en la zona de transición, independientemente de la longitud del filtro.

fenómeno de Gibbs

De modo análogo ocurre para otro tipo de filtros. Es decir, para la ventana uniforme, la amplitud de los lóbulos laterales no depende de la longitud del filtro (de la ventana) aumentando la longitud del filtro, no se reducirá el rizado.
En el siguiente esquema queda patente esta afirmación
Efecto de la ventana uniforme sobre un filtro paso-alta

Característica de la ventana

En lo que llevamos analizado hemos visto:
- la anchura de la región de transición depende de la anchura del lóbulo principal de la respuesta de ventana
- la amplitud del rizado depende de la amplitud de los lóbulos laterales.
Por consiguiente, la respuesta de ventana ideal debe producir un lóbulo principal lo más estrecho y unos nódulos laterales pequeños. Ocurre, no obstante, que para una longitud de ventana dada, lóbulos laterales de menor amplitud implican, generalmente, un lóbulo principal más ancho y viceversa.
Siempre puede reducirse la anchura del lóbulo principal haciendo mayor la longitud del filtro ( \( (m\uparrow) \) ) pero esta solución no modifica los lóbulos laterales.
Este tema ha generado más de 200 variaciones pero ninguna de ellas sobresale realmente de las demás. Así, por ejemplo, la ventana uniforme tiene el lóbulo principal más estrecho de cualquier conjunto de coeficientes de ventana de la misma longitud, pero esto se paga por tener grandes lóbulos laterales.
A continuación vamos a examinar tres ventanas más, qué son muy utilizadas en filtraje digital:

    Ventana de Von Hann

    Ventana de Hamming

    Ventana de Kaiser


Monografía en 4 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: Ventana de Von Hann



Página publicada por: José Antonio Hervás