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VENTANA DE VON HANN

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DISEÑO DE FILTROS NO RECURSIVOS. VENTANAS

La ventana de Von Hann tiene unos coeficientes de ventana dados por:

    \( \displaystyle w_i = \left\{
    \begin{array}{l}
    \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}·\cos \left(\frac{\pi·i}{m+1}\right)\quad ; \quad |i|\leq m \\
     \\
    0\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad ; \quad |i|> m \\
    \end{array}
    \right.\qquad\qquad (25·3) \)
Por lo que la respuesta de ventana será:
    \( \displaystyle W_{VH}(w) = \sum_{i=-m}^{m}\left[\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}·\cos \left(\frac{\pi·i}{m+1}\right)\right]e^{-jwi}\)
Para realizar esta suma separamos los dos sumandos entre corchetes y realizamos las sumas parciales.
coeficientes en la ventana de Vol Hann

La primera de ellas ya está resuelta para el caso de la ventana uniforme y nos da:
    \( \displaystyle S_1 = \frac{1}{2}\sum_{i=-m}^{m}e^{-jwi} = \frac{\sin[(2m+1)w/2]}{2·\sin(w/2} \)
Para la segunda tenemos:
    \( \displaystyle S_2 = \frac{1}{2}\sum_{i=-m}^{m}\cos \left(\frac{\pi·i}{m+1}\right)e^{-jwi} \)
Sumándole y restándole una serie en seno analoga, como parte imaginaria, resulta las dos expresiones siguientes:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{1}{2}\sum_{i=-m}^{m}\exp\left[\left(\frac{\pi}{m+1}- w\right)i·j\right] \\
     \\
    \frac{1}{2}\sum_{i=-m}^{m}\exp\left[\left(-\frac{\pi}{m+1}- w\right)i·j\right]
    \end{array}\qquad (\star) \)
Las sumas de cada una de estas expresiones son de la forma:
    \( A + B·j\qquad ; \qquad A - B·j \)
Por lo que tendremos:
    \( (A + B·j) + ( A - B·j) = 2·A \)
Aplicando a las expresiones de (*) la fórmula general de sumacion de una serie geométrica convergente, llegamos, después de simplificar, a:
    \( \displaystyle S = \frac{1}{4}\left\{\frac{\sin\left[\left(\frac{\pi}{m+1}-w\right)\frac{2m+1}{2}\right]}{\sin\left[\left(\frac{\pi}{m+1}-w\right)/2\right]} + \frac{\sin\left[\left(\frac{\pi}{m+1}+w\right)\frac{2m+1}{2}\right]}{\sin\left[\left(\frac{\pi}{m+1}+w\right)/2\right]} + 2·s_1 \right\} \)
Pero tenemos:
    \( \displaystyle \frac{2m+1}{2(m+1)} = 1 - \frac{1}{2(m+1)}\qquad\qquad (1) \)
Y por trigonometría:
    \( \displaystyle \sin\left[\pi - \frac{\pi}{2(m+1)}+ \alpha\right] = \sin\left[\frac{\pi}{2(m+1)}+ \alpha\right] \)
Además:
    \( \displaystyle\frac{1}{2}(2m+1)w = (m+1)w - \frac{1}{2}·w \qquad\qquad (2)\)
Y por trigonometría:
    \( \sin (a-b) = \sin (a)·\cos (b) - \cos (a)·\sin (b) \)
Sustituyendo primero la expresión (1) y después la (2) llegamos, después de simplificar a:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    S = \frac{1}{4}\left\{2·\cos[(m+1)w] + \sin[(m+1)w]\left[\cot\left(\frac{\pi}{2(m+1)}- \frac{w}{2}\right)-\right.\right. \\
     \\
    \left.\left.- \cot\left(\frac{\pi}{2(m+1)}+ \frac{w}{2}\right)\right] + 2\sin[(m+1)w]\cot\left(\frac{w}{2}\right)- 2\cos[(m+1)w]\right\}
    \end{array} \)


    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    = \frac{1}{4}\left\{\sin [(m+1)w]\left[\cot\left(\frac{\pi}{2(m+1)}- \frac{w}{2}\right) -\right.\right. \\
     \\
    \left.- \left.\cot\left(\frac{\pi}{2(m+1)}+ \frac{w}{2}\right) + 2·\cot\left(\frac{w}{2}\right) -\right]\right\} \qquad (**)
    \end{array}\)
Vamos a operar con las cotangentes pero sustituyendo formalmente los términos con \( \pi \) para simplificar:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \cot \left(A - \frac{w}{2}\right) - \cot \left(A + \frac{w}{2}\right) + 2·\cot\left(\frac{w}{2}\right) = \\
     \\
    = \frac{\cot(A)·\cot\left(\frac{w}{2}\right)+1}{\cot\left(\frac{w}{2}\right)- \cot (A)}- \frac{\cot(A)·\cot\left(\frac{w}{2}\right)-1}{\cot\left(\frac{w}{2}\right)+ \cot (A)} + 2·\cot\left(\frac{w}{2}\right) = \\
     \\
    = 2·\cot\left(\frac{w}{2}\right)·\frac{1+\cot^2(A)}{\cot^2\left(\frac{w}{2}\right)- \cot^2(A)} + 2·\cot\left(\frac{w}{2}\right)
    \end{array}\)
Sustituyendo ahora las cotangentes por las relaciones entre senos y cosenos, nos queda:
    \( \displaystyle \frac{\displaystyle 2·\cos\left(\frac{w}{2}\right)·\sin\left(\frac{w}{2}\right)}{\displaystyle \sin^2 (A)·\cos^2\left(\frac{w}{2}\right)+\cos^2 (A)·\sin^2\left(\frac{w}{2}\right)} + 2·\frac{\displaystyle\cos\left(\frac{w}{2}\right)}{\displaystyle\sin\left(\frac{w}{2}\right)} \)
Pero tenemos:
    \( \displaystyle \sin^2 (A)·\cos^2\left(\frac{w}{2}\right)+\cos^2 (A)·\sin^2\left(\frac{w}{2}\right) = \sin^2 (A) - \sin^2\left(\frac{w}{2}\right) \)
Por lo que sustituyendo:
    \( \displaystyle \frac{\displaystyle 2·\cos\left(\frac{w}{2}\right)·\sin\left(\frac{w}{2}\right)}{ \displaystyle \sin^2 (A) - \sin^2\left(\frac{w}{2}\right) } + 2·\frac{\displaystyle\cos\left(\frac{w}{2}\right)}{\displaystyle\sin\left(\frac{w}{2}\right)} \)
Y volviendo a (**)
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    S = \frac{ \displaystyle \sin[(m+1)w]\cos\left(\frac{w}{2}\right)}{\displaystyle 2·\sin\left(\frac{w}{2}\right)}\left[\frac{\displaystyle \sin^2\left(\frac{w}{2}\right)}{\displaystyle \sin^2 (A) - \sin^2\left(\frac{w}{2}\right)} + 1\right] = \\
     \\
    = \frac{ \displaystyle \sin[(m+1)w]\cos\left(\frac{w}{2}\right)}{\displaystyle 2·\sin \left(\frac{w}{2}\right)}\left[\frac{\displaystyle \sin^2(A)}{\displaystyle \sin^2 (A) - \sin^2\left(\frac{w}{2}\right)} \right]
    \end{array}\)
Finalmente, teniendo en cuenta el valor de A llegamos a:
    \( \displaystyle S = \frac{ \displaystyle \sin[(m+1)w]\cos\left(\frac{w}{2}\right)}{\displaystyle 2·\sin\left(\frac{w}{2}\right)}\left[\frac{1}{\displaystyle 1 -\left(\frac{\sin\left( \displaystyle\frac{w}{2}\right)}{\sin[\pi/2(m+1)]}\right)^2}\right] \)
En la figura adjunta comparamos las respuestas de ventana uniforme y Von Hann
comparación de  las respuestas de ventana uniforme y Von Hann

La figura adjunta corresponde a la respuesta en frecuencia para un filtro pasa- bajo en el caso de aplicar una ventana uniforme y una ventana de Von Hann.
Respuesta en frecuencia de un Pasa- bajo

Monografía en 4 capítulos: Filtros digitales

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Página publicada por: José Antonio Hervás