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VENTANA DE KAISER

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DISEÑO DE FILTROS NO RECURSIVOS. VENTANAS

En la ventana de Kaiser, el autor toma un enfoque diferente: Encontrar una función de ventana que sea ajustable. Es decir, que la ventana que contenga un parámetro que controle de forma explícita en compromiso lóbulo principal- lóbulos laterales.

Después de diversas investigaciones sugirió los siguientes coeficientes de ventana:
    \( \displaystyle w_i = \left\{
    \begin{array}{l}
    \frac{I_o\left[\alpha \sqrt{1\displaystyle - \left(\frac{i}{m}\right)^2}\right]}{I_o(\alpha)}\qquad |i| \leq m \\
     \\
    0\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad |i| > m \\
    \end{array}
    \right.\qquad \qquad (28·3) \)
Dónde \( I_o(x) \) son las llamadas funciones esferoidales. El término \(I_o(\alpha) \) normaliza los coeficientes de ventana (es constante con respecto a i), y \( \alpha \) es un factor de escala, para el que se cumple:
\( \alpha = 0 \Rightarrow \) ventana uniforme ; \( \alpha = 5,4414 \) ventana de Hamming
Cuándo \( \alpha \) aumenta el lóbulo principal de la ventana de Kaiser se ensancha y los lobulos laterales se hacen más pequeños.

La tabla adjunta recoge los valores de la función esferoidal para una serie de segmentos.
\( x \) \( I_o(x) \) \( x \) \( I_o(x) \)

 

0,0

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,6

3,8

 

1,000

1,0025

1,0100

1,0400

1,0921

1,1665

1,2661

1,3938

1,5534

1,7500

1,9696

2,2796

2,6292

3,0492

3,5532

4,1574

4,3306

5,7472

8,0278

9,5169

 

4,0

4,2

4,4

4,6

4,8

5,0

5,2

5,4

5,6

5,8

6,0

6,2

6,4

6,6

6,8

7,0

7,2

7,4

7,6

7,8

 

11,302

13,443

16,010

19,093

22,794

27,240

32,584

39,010

46,738

56,039

67,235

80,717

96,963

116,54

140,14

168,59

202,92

244,34

294,33

354,68

Especificación de un filtro PASO-BAJA

Se trata de diseñar un filtro con una respuesta en frecuencia que esté confinada a la región sin sombrear de la figura

Especificación de un filtro PASO-BAJA


Kaiser desarrolló un procedimiento de diseño para cumplir tales especificaciones:

A1) calcular los coeficientes de Fourier de la respuesta en frecuencia deseada.

A2) calcular los coeficientes del filtro multiplicando los coeficientes de Fourier por los coeficientes de la ventana de Kaiser (esto implica determinar los valores de \( \alpha \;y\; m\) que cumplen las especificaciones de diseño).

Analizando la figura puedes llegar se a las siguientes conclusiones:
1ª) El rizado viene determinado por la amplitud de los lóbulos laterales:

    \( \delta = f(\alpha) \qquad\qquad\qquad (29.3) \)
2ª) La región de transición depende de la anchura del lóbulo principal:
    \( \Delta = \varphi_1(\alpha , m) = \varphi (m) \; ,\; (para\;un\;\alpha\;dado)\quad (30·3) \)
Kaiser observó que la anchura de la zona de transición viene dada aproximadamente por:
    \( \displaystyle \Delta \cong \frac{D(\alpha)}{2m}\qquad\qquad\qquad (31·3) \)
Dónde \( D(\alpha) \) es la anchura del lóbulo principal normalizado.
Basado en las anteriores observaciones Kaiser desarrollo el siguiente diseño de ventana:

    - dado \( \delta \) , determinar \( \alpha \) (la forma de la ventana)

    - dado \( \alpha \) , encontrar \( D( \alpha)\) .

    - determinar \( m \) por aplicación de (31·3), redondeando al entero más próximo.

Las relaciones entre \( \delta\: ,\: \alpha\; y\; D(\alpha)\) fueron tabuladas por kaiser con ayuda de un ordenador.
Algunos de sus resultados se recogen en el cuadro adjunto

RIZADO \(\alpha \) \(D(\alpha) \)rad/seg

9%

5,0%

1,0%

0,5%

0,1%

0,05%

0,01%

0,001%

0,0

1,34

3,39

3,98

5,65

6,21

7,857

10,061

5,794

7,477

14,024

16,336

22,777

25,077

31,017

40,275


Ejemplo: Calcular un filtro paso alta con rizado menor que 0,1% y una región de transición menor que \(0,05·\pi \) radianes.
De la tabla de diseño resulta:

    \( \alpha = 5,65\quad ; \quad D(\alpha) = 22,77 \)
Y aplicando la ecuación (31·3):
    \( \displaystyle m = \frac{D(\alpha)}{2\Delta} = \frac{22,78}{2(0,05·\pi)} = 72,51 \Rightarrow m = 73 \)
En este caso necesitamos una ventana de Kaiser de 147 coeficientes (2x73+1) y un \( \alpha = 5,65 \) para cumplir las especificaciones del diseño.
Para rizados mayores que el 9% debe utilizarse una ventana uniforme.

Monografía en 4 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: La transformada en Z



Página publicada por: José Antonio Hervás