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RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FILTROS DIGITALES

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RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FILTROS DIGITALES

A partir de lo anterior surge el problema de expresar H(w) en función de los coeficientes del filtro digital. Realizamos el estudio para los dos tipos generales de filtros.

Respuesta en frecuencia de filtros no recursivos.

la expresión general de la salida para este tipo de filtros es:

    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=-m}^{m}c_i·x_{k-i} \)
Sí aplicamos como entrada una función exponencial tendremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    x_k = \exp (j·wk) \Rightarrow y_k = \sum_{i=-m}^{m}c_i·\exp\left[j·w(k-i)\right] = \\
     \\
    = \exp (j·wk)\left[\sum_{i=-m}^{m}c_i·\exp (-jwi)\right]
    \end{array} \)
Por lo tanto, para un filtro digital no recursivo se tiene:
    \( \displaystyle H(w) = \sum_{i=-m}^{m}c_i·\exp (-j·wi)\qquad (3·2) \)

Respuesta en frecuencia de filtros recursivos.

La expresión general de la salida para este tipo de filtros es:

    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=-m}^{m}c_i·x_{k-i} + \sum_{r=1}^{n}d_r·y_{k-r}\)
Aplicando a la entrada una función exponencial \( \exp (j·wk) \) :
    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=-m}^{m}c_i·\exp\left[j·w(k-i)\right] + \sum_{r=1}^{n}d_r·y_{k-r}\qquad (\ast) \)
Por otro lado sabemos que, siendo H(w) un valor propio para la función exponencial, se tendrá:
    \( y_k = H(w)·\exp(j·wk) \Rightarrow y_{k-i} = H(w)·\exp\left[j·w(k-i)\right]\)
Y sustituyendo este resultado en (*):
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    H(w)·\exp (j·wk) = \sum_{i=-m}^{m}c_i·\exp\left[j·w(k-i)\right] + \\
     \\
    + \sum_{r=1}^{n}d_r·H(w)·\exp\left[j·w(k-r)\right]
    \end{array}\)
Con lo que finalmente se tendrá.
    \( H(w) = \frac{\displaystyle\sum_{i=-m}^{m}c_i·\exp(-j·wi)}{\displaystyle 1 -\sum_{r=1}^{n}d_r·\exp (-j·wr) }\qquad (4·2) \)

Ejemplo 1.

Calcular la respuesta en frecuencia de un filtro digital no recursivo siguiente.

    \( \begin{array}{l}
    y_k = .04x_k - .05x_{k-2} + .06x_{k-4} - .11x_{k-6} + .32x_{k-8} - .5x_{k-9} + \\
    + .32x_{k-10} - .11x_{k-12} + .06x_{k-14} - .05x_{k-16} + .04x_{k-18}
    \end{array} \)
Respuesta

Cómo H(w) será una función compleja podemos expresar su parte real y su parte imaginaria:

    \( \begin{array}{l}
    \Re[H(w)] = .04\cos(0w) - .05\cos(2w) + .06\cos(4w)- .11\cos(6w)+ \\
     \\
    + .32\cos(8w) - .5\cos(9w) + .32\cos(10w) - .11\cos(12w) + \\
     \\
    + .06\cos(14w)- .05\cos(16w) + .04\cos(18w) \\
     \\
    \Im[H(w)] = .04\sin(0w) - .05\sin(2w) + .06\sin(4w)- .11\sin(6w)+ \\
     \\
    + .32\sin(8w) - .5\sin(9w) + .32\sin(10w) - .11\sin(12w) + \\
     \\
    + .06\sin(14w)- .05\sin(16w) + .04\sin(18w)
    \end{array} \)
Con estos resultados, el módulo de H(w) valdrá:
    \( \displaystyle |H(w)| = \sqrt{\Re[H(w)]^2 + \Im[H(w)]^2} \)
Y la fase:
    \( \displaystyle \phi(w) = \arctan \frac{\Im[H(w)]}{\Re[H(w)]} \)
Por lo que teniendo en cuenta la fórmula de Euler:
    \( \displaystyle H(w) = |H(w)|·\exp[j·\phi(w)] \)
Implementando el filtro y representando gráficamente los valores del módulo y fase de la salida se obtienen las figuras adjuntas
representación del módulo de un filtros digitales


Ejemplo 2
Para el mismo filtro anterior calcular la salida cuando la entrada es \( \cos wk \)

Respuesta
La función \( \cos wk \) puede escribirse en la forma:

    \( \displaystyle \cos wk = \frac{1}{2}\left(e^{j·wk} + e^{-j·wk}\right) \)
Por lo tanto, teniendo en cuenta que el filtro es lineal:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    y_k = H(w)·\cos wk = |H(w)|· \frac{1}{2}\left(e^{j[wk+\phi(w)]} + e^{-j[wk+\phi(w)]}\right) = \\
     \\
    = |H(w)|·\cos [wk + \phi(w)]
    \end{array} \)
La representación gráfica del módulo de H(w) frente a w, dará un esquema como el de la figura adjunta.
representación gráfica del módulo de H(w) frente a w

La gráfica anterior nos permite estudiar la relación entre la respuesta en frecuencia y la ganancia de un filtro. Sobre ella vemos que para una frecuencia igual a \( .72\pi\; rad/s \) , la salida es q es igual a la entrada, para una frecuencia de \( .61\pi\; rad/s \) , amplitud de salida es algo mayor que en el caso anterior y para una frecuencia de \( .43\pi\; rad/s \) , la salida es mucho menor que la entrada. Las distintas situaciones se reflejan en las figuras adjuntas.
filtros digitales
filtros digitales
filtros digitales
filtros digitales


Esquemas de la relación entre la respuesta en frecuencia y la ganancia del filtro.

Cálculo de la magnitud y fase de la respuesta en frecuencia de un filtro digital general.

Recordando la expresión (4·2) podemos escribir:

    \( \displaystyle H(w) = \frac{\displaystyle\sum_{i=m}^{m}c_i·e^{-j·wi}}{\displaystyle 1 - \sum_{r=1}^{n}d_r·e^{-j·wr}} = \frac{N(w)·e^{j·\nu(w)}}{D(w)·e^{j·\delta(w)}} = \frac{N(w)}{D(w)}·e^{j[\nu(w)-\delta(w)]} \)
Con ejemplo podemos hacer el cálculo para el filtro recursivo:
    \( y_k = 2·x_k + 3·x_{k-1} + 0,5·y_{k-1} \)
Los coeficientes de este filtro no son:
    \( c_o = 2 \; ;\; c_1 = 3 \; ;\; d_1 = 0,5 \)
Por lo tanto:
    \( \displaystyle H(w) = \frac{2·e^{-j·w0}+ 3·e^{-j·w1}}{1- 0,5·e^{-j·w1}} \)
Y los vectores de N(w) y D(w) en modulo serán:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    |N(w) = \sqrt{(2\cos 0w + 3\cos 1w)^2 + (2\sin 0w + 3\sin 1w)^2} = \\
     \\
    \sqrt{(2+ 3·\cos w)^2 + (3·\sin w)^2} \\
     \\
    |D(w)| = \sqrt{(1 - 0,5·\cos w)^2 + (0,5·\sin w)^2}
    \end{array} \)
Está claro entonces que el módulo y la fase de H(w) serán:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    |H(w)| = \sqrt{\frac{(2+ 3·\cos w)^2 + (3·\sin w)^2}{(1 - 0,5·\cos w)^2 + (0,5·\sin w)^2}} \\
     \\
    \phi(w) = \nu(w) - \delta(w) = \arctan\left(\frac{3·\sin w}{2+3·\cos w}\right) - \arctan \left(\frac{0,5·\sin w}{1 - 0,5·\cos w}\right)
    \end{array} \)
En las figuras adjuntas representamos estas dos magnitudes frente a la frecuencia. A partir de ellas podremos obtener algunas consecuencias para mejorar el estudio de un filtro.
representación de  H(w) frente a la frecuencia

Las representaciones adjuntas están realizadas a escala lineal y esto a veces no es conveniente ya que era una mala resolución.

representación de  la fase frente a la frecuencia


Representación logarítmica de H(w)

A veces es interesante expresar el valor de H(w) en decibelios. Se tiene:

    \( H(w)_{dB} = 20·\log_{10}(|H(w)| \)
La función decibelio es no lineal y su representación frente al módulo de H(w) viene dada en la figura adjunta
La función decibelio es no lineal y su representación 
          frente al módulo de H(w)

Tomando el valor en dB para el módulo de un filtro se consigue alta resolución para pequeñas magnitudes y bajas resolución para magnitudes grandes.
Por ejemplo, el esquema respuesta para un filtro digital no recursivo de 21 puntos (m = 10) puede apreciarse en las dos formas de representación que se adjuntan. Se trata de un filtro pasa bajo
esquema respuesta para un filtro digital no recursivo

Monografía en 7 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: Propiedades de la respuesta en frecuencia



Página publicada por: José Antonio Hervás