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PROPIEDADES DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

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RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FILTROS DIGITALES

1) la respuesta en frecuencia es una función periódica:

    \( H(w + 2\pi) = H(w)\qquad (5·2) \)
Demostración
Teniendo en cuenta (4·2) resulta:
    \( \displaystyle H(w + 2\pi) = \frac{\displaystyle\sum_{i=-m}^{m}c_i·e^{-j(wi+2\pi i)}}{\displaystyle 1 -\sum_{i=1}^{n}d_i·e^{-j(wi+2\pi i)} } \)
Pero si tiene:
    \( e^{-j(wi+2\pi i)} = e^{-j·wi}·e^{-j·2\pi i} = e^{-j·wi} \)
Por lo que se deduce fácilmente (5·2)

2) sí el filtro tiene coeficientes reales, entonces:

    \( \begin{array}{l}
    |H(w)| = |H(-w)| \Rightarrow\quad funcion\; par\qquad\quad (6.2) \\
     \\
    \phi (w) = -\phi(-w) \Rightarrow \quad funcion \; impar \quad\qquad (7.2)
    \end{array} \)
Demostración

Podemos escribir H(w) en la forma:

    \( \displaystyle H(w) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}h_i·e^{-j·wi} \)
De ahí tenemos:
    \( \displaystyle \Re\{H(w)\}= \sum_{i=-\infty}^{\infty}h_i·\cos wi \quad ;\quad \Im\{H(w)\}= \sum_{i=-\infty}^{\infty}h_i·\sin wi \)
Como la función \( \cos \) es par y la función \( \sin \) es impar, resulta:
    \( \Re\{H(w)\}= \Re\{H(-w)\}\quad ;\quad \Im\{H(w)\}= -\Im\{H(-w)\} \)
Y a partir de ahí tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    |H(-w)| = \sqrt{[\Re\{H(-w)\}]^2 + [\Im\{H(-w)\}]^2}= \\
     \\
    = \sqrt{[\Re\{H(w)\}]^2 + [-\Im\{H(w)\}]^2}= H(w) \Rightarrow \quad funcion\quad PAR
    \end{array} \)
Analogamente:
    \( \displaystyle \phi(-w) = \arctan \frac{\Im\{H(-w)\}}{\Re\{H(-w)\}} = \arctan\left[- \frac{\Im\{H(w)\}}{\Re\{H(w)\}}\right] = - \arctan \frac{\Im\{H(w)\}}{\Re\{H(w)\}} \)
Con lo que hemos demostrado lo que nos proponíamos.

En consecuencia, filtros con coeficientes reales solo es necesario calcular la respuesta en frecuencia de \( 0 \; a\; \pi \) .

Ejemplo calcular la respuesta en frecuencia de un filtro no recursivo para mejorar un electrocardiograma (EKG)

    \( \displaystyle y_k = \frac{1}{21}\left(-2x_k + 3x_{k-1}+ 6x_{k-2}+ 7x_{k-3} + 6x_{k-4}+ 3x_{k-5} - 2x_{k-6}\right) \)
Por lo que hemos visto, la respuesta en frecuencia vale:
    \( \displaystyle H(w) = \frac{-2e^{-j0w} + 3e^{-j1w}+ 6e^{-j2w}+ 7e^{-j3w} + 6e^{-j4w}+ 3e^{-j5w} - 2e^{-j6w}}{21} \)
Y de ahí tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{c}
    \Re\{H(w)\} = \frac{1}{21}\left(-2 + 3\cos w + 6\cos 2w+ 7\cos 3w + 6\cos 4w+ 3\cos 5w - 2\cos 6w\right) \\
     \\
    \Im\{H(w)\} = \frac{1}{21}\left(- 3\sin w - 6\sin 2w- 7\sin 3w - 6\sin 4w- 3\sin 5w +2\sin 6w\right)
    \end{array} \)
El módulo y la fase de esta función valdrán, como siempre:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    |H(w)| = \sqrt{\Re[H(w)]^2 + \Im[H(w)]^2} \\
     \\
    \phi(w) = \arctan \left( \frac{\Im[H(w)]}{\Re[H(w)]}\right)
    \end{array}\)
Y la representación gráfica es la de la figura adjunta
esquema respuesta para un filtro digital no recursivo

Por el esquema anterior vemos que el filtro estudiado es un filtro pasa bajo que discrimina (no deja pasar) las señales de alta frecuencia del músculo.

Ejemplo calcular la respuesta en frecuencia de un filtro recursivo para mejorar el EKG:
    \( y_k = .14x_{k-2}+ 1,77y_{k-1}- 1,19y_{k-2} + .28y_{k-3} \)
La respuesta en frecuencia vale:
    \( \displaystyle H(w) = \frac{.14e^{-j2w}}{1 - 1.77e^{-j1w}+ 1.19e^{-j2w}-.28e^{-j3w}} \)
El módulo de esta función será:
    \( \displaystyle |H(w)| = .14\sqrt{\frac{(\cos 2w)^2 + (\sin 2w)^2}{\Re^2 + \Im^2}} = .14\sqrt{\frac{1}{\Re^2 + \Im^2}} \)
Dónde:
    \( \begin{array}{l}
    \Re = 1- 1.77\cos w + 1.19\cos 2w - .28\cos 3w \\
     \\
    \Im = 1.77\sin w + 1.19\sin 2w - .28\sin 3w
    \end{array} \)
Y el esquema de respuesta es el representado en la figura adjunta en la que se ve que es mejor que la del filtro anterior.
esquema respuesta para un filtro digital no recursivo

Para estos dos ejemplos vemos en la respuesta en frecuencia nos permite explicar fácilmente la alteración del filtro. El concepto de respuesta en frecuencia se utiliza para explicar tanto en funcionamiento de filtros no recursivos como recursivos. A partir de esta función puede obtenerse muchas de las características fundamentales que definen a un filtro.

Monografía en 7 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: Filtros en paralelo y en cascada



Página publicada por: José Antonio Hervás