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POLOS Y CEROS DE UNA FUNCIÓN

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FILTROS DIGITALES RECURSIVOS Y LA TRANSFORMADA Z

Se dice que \( z = p_i\) es un polo de H(z) sí:

    \( \displaystyle \lim_{z\rightarrow p_i}|H(z)| = \infty \)
Análogamente, \( z = g_i \) es un 0 de H(z) sí:
    \( \displaystyle \lim_{z\rightarrow g_i}|H(z)| = 0 \)
Sí H(z) tiene un polo en \( z = p_i\) y si la función:
    \( H(z)·(z-p_i)^n \; ,\; n=1 , 2 , 3, ... \)
Tiene un valor finito no nulo en \( z=p_i \) , el punto \( z=p_i \) se denomina polo de orden n. Sí n = 1 el pueblo se llama simple.
Una extrapolacion podemos hacer para el caso de los ceros. En lo que sigue, salvo declaración en contra, solo consideraremos funciones de transferencia con polos y ceros simples.

Una función de la que se conocen todos sus polos y ceros puede expresarse en la forma:

    \( \displaystyle H(z) = K·\frac{(z-g_1)(z-g_2)...(z-g_m)}{(z-p_1)(z-p_2)...(z-p_n)} \)
para un istema causal, n > m.
Puedo obtenerse un diagrama de configurción en el plano complejo z. Así, para la función:
    \( \displaystyle H(z) = 2·\frac{z(z+0,25)}{(z-1,5)(z+0,5)} \)
Tenemos el mapa de la figura adjunta en la que hemos representado los polos por (*) y los ceros por (o).
mapa de polos y cero

Conociendo el mapa de configuración de polos y ceros de la función de transferencia de un filtro puede obtenerse su respuesta en frecuencia. Por la relación entre ambas puede escribirse:
    \( \displaystyle H(e^{jw}) = K·\frac{(e^{jw}- g_1)(e^{jw}- g_2)...(e^{jw}- g_m)}{(e^{jw}- p_1)(e^{jw}- p_2)...(e^{jw}- p_n)} \)
Si solo son de interés las singularidades próximas al círculo unidad y podemos suponer constantes los factores restantes, es la amplitud \( |H(w)| \) de la respuesta en frecuencia toma valores significativos en el intervalo donde se cumpla \( 1-p_i << 1\) . Veamos.Sea H(z) de la forma:
    \( \displaystyle H(z) = \frac{1}{z-p} \)
Entonces:
    \( \displaystyle H(e^{jw}) = \frac{1}{e^{jw} - p}\)
Y si tenemos que \( 1 - p < 1 \), podemos hacer:
    \( \displaystyle e^{jw} - p \cong 1 - p + jw = jw \Rightarrow |H(w)| = \frac{1}{w} \)
Esto es, la amplitud de H(w) tiende a infinito cuando w tiende a 0.
Sea ahora H(z) de la forma:
    \( \displaystyle H(z) = \frac{1}{z^2 - 2p·z·\cos \alpha +p^2} = \frac{1}{(z-p·e^j)(z - e^{-j})} \)
Donde hemos hecho:
    \( \displaystyle z = \frac{2p·\cos \alpha \mp \sqrt{4p^2·\cos^2 \alpha - 4p^2}}{2} = p(\cos \alpha \mp j·\sin \alpha) = p·\exp (\mp j·\alpha) \)
Sí tenemos \( 1-p << 1\) , cuándo w es cercano a \(\alpha \) podemos hacer una serie de aproximaciones, para llegar finalmente a:
    \( \displaystyle H(w) = \frac{1/2·\sin \alpha}{(w-\alpha)} \)
Consideremos ahora una función de transferencia que tiene un mapa de polos y ceros como el de la figura izquierda. Aplicando lo que estamos diciendo si él tiene la gráfica de la derecha.
mapa de polos y ceros

Sí mantenemos fijo el cero y vamos moviendo paulatinamente los polos de la forma que se refleja en la serie de figuras adjuntas de la izquierda, obtenemos la serie de figuras de la derecha.
mapa de polos y ceros

En todas estas gráficas hemos de tener en cuenta que están a distinta escala pero cortan el eje H(z) en el mismo punto. Este punto se define como la ganancia en continua del filtro, es decir:
    \( z = e^{jw} (w=0) \Rightarrow e^{j0} = 1 \Rightarrow Ganancia\;en \;continua\; = H(1) \)
Por último, gráfica final H(z) correspondiente al caso en que movemos el cero y mantenemos los polos en una posición similar a la última de la serie anterior, refleja que en esta situación disminuye el valor de la ganancia.
mapa de polos y ceros

Monografía en 4 capítulos: Filtros digitales

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Página publicada por: José Antonio Hervás