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MÉTODO DE DISEÑO DE FOURIER

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DISEÑO DE FILTROS NO RECURSIVOS. VENTANAS

Dada una función D(w), aplicando la ecuación (8·3) se diseña un filtro no recursivo escogiendo los coeficientes \( c_i \) de manera que coincida con la respuesta impulsional \( h_i \) :

    \( \displaystyle c_i = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D(w)e^{jwi}·dw\qquad (i = -m,..., m) \qquad (9·3)\)
Ejemplo
Diseño de un filtro PASO-BAJA que posee una respuesta en frecuencia teórica como la data en la figura adjunta.
Diseño de un filtro PASO-BAJA

Aplicando los resultados anteriores tenemos:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    h_i = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D(w)e^{jwi}·dw = \frac{1}{2\pi}·\left.\frac{1}{j·i}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \\
     \\
    \frac{1}{2\pi i}·\frac{1}{j}\left[e^{j\pi i/2}- e^{-j\pi i/2}\right] = \frac{1}{\pi i}·\sin \left(\frac{\pi i}{2}\right)
    \end{array}\)
De la expresión anterior vemos que se tiene:
    \( \displaystyle h_i = \frac{1}{i}\quad ;\quad h_{2b} = 0 (i\neq 0) \quad ; \quad h_i = h_{-i}\; (simetrica) \)
En particular, aplicando L'Hopital:
    \( \displaystyle h_o = \frac{\pi}{2}·\frac{\cos (\pi· i/2)}{\pi} = \frac{1}{2} \)
Aplicando la fórmula obtenida a distintos valores de i se ha obtenido la tabla adjunta
Diseño de un filtro PASO-BAJA
Respuesta impulsional del filtro pasa baja

Puesto que con un filtro no recursivo no se puede realizar una respuesta de longitud infinita, plantación no recursiva fuerza a " truncar" la respuesta impulsional.
\( |i|\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
\( h_i \) 0,5 0,32 0 - 0.11 0 0,06 0 - 0.05 0 0.04

En las figuras adjuntas se representa la función H(w) para distintos valores de la longitud del filtro, m.

en la figura están representadas las gráficas de las funciones D(w) y H(w) para un determinado filtro

A medida que aumenta la longitud del filtro, la respuesta en frecuencia de este es mejor.
Consideraciones prácticas para el cálculo de las integrales de Fourier.
La técnica de diseño por el método de Fourier se puede resumir en los siguientes pasos:

    1) aplicar la función D(w) en la ecuación de diseño de Fourier. Esto puede requerir dividir la integral en subintervalos.

    2) Realizar la integración indefinida.

    3) aplicar los límites de integración a las integrales indefinidas.

    4) calcular los coeficientes, sustituyendo los índices en la fórmula general.


Diseño de un filtro PASO-BAJA
Partición de la función D(w) en subintervalos

Cuándo D(w) es una función par o impar pueden hacerse algunas simplificaciones, ese tiene:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    h_i = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}D(w)e^{jwi}·dw = \\
     \\
    = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}D(w)\cos (w· i)dw + \frac{j}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} D(w)\sin (w· i)dw
    \end{array}\)
En consecuencia, sí D(w) es par resulta:
    \( \displaystyle h_i = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}D(w)\cos (w· i)dw\qquad\qquad (10·3)\)
Y sí D(w) es impar:
    \( \displaystyle h_i = \frac{j}{\pi} \int_{0}^{\pi}D(w)\sin (w· i)dw\qquad\qquad (11·3)\)

Ejemplo
Diseño de un diferenciador digital no recursivo. La gráfica de la respuesta en frecuencia deseada sí corresponde con la figura adjunta. Matemáticamente se tiene:

    \(D(w) = j·w\)
gráfica de la respuesta en frecuencia

Por lo tanto, la expresión general para los coeficientes será:
    \( \displaystyle c_i = h_i = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}D(w)e^{jwi}·dw = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}jw·e^{jwi}·dw \)
Pero ocurre que en este caso la respuesta en frecuencia deseada es una función impar e imaginaria, tanto, los coeficientes del filtro son reales y están generados por la integral del seno, ecuación (11·3):
    \( \displaystyle c_i = \frac{j}{\pi}\int_{0}^{\pi} jw·\sin (w· i)dw = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} w·\sin (w· i)dw \)
Integrando por partes:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    c_i =- \frac{1}{\pi}\left[\frac{w(-\cos w·i}{i}\right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{i}\int_{0}^{\pi}\cos wi·dw \Rightarrow
    \\
     \\
    \Rightarrow c_i = \frac{1}{i}·\cos \pi\:i\quad i\neq 0
    \end{array} \)
\( c_o = 0\) , que puede deducirse fácilmente.
Dependiendo de dónde se realiza el truncamiento pueden obtenerse diferenciadores de distinta calidad.
Respuesta impulsional del diferenciador
En las figuras adjuntas damos las gráficas de H(w) para dos diferenciadores de distinta longitud.
gráficas de H(w) para dos diferenciadores de distinta longitud

Monografía en 4 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: Longitud del filtro



Página publicada por: José Antonio Hervás