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LONGITUD DEL FILTRO

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DISEÑO DE FILTROS NO RECURSIVOS. VENTANAS

En la técnica de diseño de Fourier los ejemplos vistos sugieren que la respuesta en frecuencia del filtro se aproxima más a la deseada cuantos más términos se utilizan en la respuesta impulsional. Esto puede demostrarse formalmente, expresando el criterio de diseño cómo función de los coeficientes que realmente se utilizan en el filtro.

Teniendo en cuenta la ecuación (3·3) el error de diseño cuando se utilizan todos los términos puede escribirse:
    \( \displaystyle \varepsilon_T = \int_{-\pi}^{\pi}\left|D(w) - \sum_{TODOS}h_i·e^{-jwi}\right|^2·dw \)
Y desarrollando:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int_{-\pi}^{\pi}|D(w)|^2dw - \int_{-\pi}^{\pi}D(w)\sum_{T}h_i^*·e^{jwi}dw - \\
     \\
    -\int_{-\pi}^{\pi}D^*(w)\sum_{T}h_i·e^{-jwi}dw + \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{T}h_i·e^{-jwi}\sum_{T}h_k^*·e^{jwk} dw
    \end{array} \)

Teniendo en cuenta, de nuevo, la ecuación (3·3) podemos hacer:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int_{-\pi}^{\pi}D(w)\sum_{T}h_i^*·e^{jwi}dw = \sum_{T}h_i^*\int_{-\pi}^{\pi}D(w)e^{jwk} dw = 2\pi \sum_T |h_i|^2 \\
     \\
    \int_{-\pi}^{\pi}D^*(w)\sum_{T}h_i·e^{-jwi}dw = \sum_{T}h_i\int_{-\pi}^{\pi}D^*(w)e^{-jwk} dw = 2\pi \sum_T |h_i|^2 \\
     \\
    \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{T}h_i·e^{-jwi}\sum_{T}h_k^*·e^{jwi}dw = \sum_T h_i\sum_T h_i^*\int_{-\pi}^{\pi}e^{jk(k-i)}dw = \\
     \\
    \sum_T c_i(2\pi h_i^*) = 2\pi \sum_T|h_i|^2
    \end{array} \)
Por consiguiente, en cuenta los signos de cada término:
    \( \displaystyle \varepsilon_T \int_{-\pi}^{\pi}|D(w)|^2dw - 2\pi \sum_T |h_i|^2 \qquad (12·3) \)
Y este es el error de diseño utilizando TODOS los términos de la respuesta impulsional.
Por un razonamiento análogo se llega a:
    \( \displaystyle \varepsilon_{UT} = \int_{-\pi}^{\pi}|D(w)|^2dw = 2\pi \sum_T |h_i|^2 \qquad (13·3) \)
Por otro lado, es trivial que podemos escribir:
    \( \displaystyle \sum_T |h_i|^2 =\sum_{UT} |h_i|^2 + \sum_{no,UT} |h_i|^2 \qquad (14·3) \)
Y aplicando este agrupamiento de la respuesta impulsional a los cálculos previos:
    \( \displaystyle \varepsilon_{UT} = \varepsilon_T + 2\pi\sum_{no,UT} |h_i|^2 \qquad (15·3) \)
Es decir, cuántos menos términos tenga el filtro mayor es el valor del criterio.
Ejemplo

Calcular el error de diseño como función de la longitud del filtro para el filtro PASO-BAJA y el diferenciador anteriormente diseñados.

Filtro PASO-BAJO

En este caso tenemos:

    \( \displaystyle D(w) = \left\{
    \begin{array}{l}
    1\qquad -\pi \leq w \leq \pi \\
     \\
    0\quad en\;otro\; caso \\
    \end{array}
    \right.\qquad ; \quad h_i = \frac{1}{\pi ·i}·\sin \frac{\pi·i}{2} \)
Por lo tanto:
    \( \displaystyle \varepsilon = \int_{-\pi}^{\pi}|D(w)|^2dw - 2\pi \sum_T |h_i|^2 = 2\pi - 2\pi\sum_{i=-m}^{m}\left[\frac{1}{\pi ·i}·\sin \frac{\pi·i}{2}\right]^2
    \)

Diferenciador

Para este caso la respuesta en frecuencia deseada y la respuesta impulsional son, respectivamente:

    \( \displaystyle D(w) = jw\qquad ; \qquad h_i = \frac{1}{i}·\cos \pi·i \)
Por lo que tendremos:
    \( \displaystyle \varepsilon = \int_{-\pi}^{\pi}|D(w)|^2dw - 2\pi \sum_T |h_i|^2 = \frac{2}{3}·\pi^3 - 2\pi\sum_{i=-m}^{m}\left[\frac{1}{i}·\cos \pi·i\right]^2
    \)
En las figuras adjuntas viene representado \( \varepsilon \) para las distintas longitudes de estos filtros.
figuras adjuntas viene representado epsilón para las distintas longitudes de estos filtros

Crítica al método de diseño de Fourier de filtros no recursivos.- los filtros de longitud finita que se diseñan por el método de Fourier presentan dos deficiencias obvias:
1) la respuesta en frecuencia tiene oscilaciones significativas alrededor de las transiciones en la respuesta deseada. Estas oscilaciones se denominan rizados. En periodo del rizado disminuye cuando aumenta la longitud del filtro ( \( (m\uparrow) \) ).
2) la respuesta en frecuencia obtenida no sigue las transiciones rápidas de la respuesta deseada. Por ejemplo, la respuesta deseada de un filtro PASO-BAJA cambia abruptamente de 1 a 0, sin embargo, el filtro de Fourier de longitud finita cambia lentamente. Esta región de cambio gradual se llama "región de transición" del filtro. La anchura de la región de transición disminuye cuando el filtro tiene más términos.
Recordando la ecuación (3·2) la respuesta en frecuencia H(w) viene dada por:

    \( \displaystyle H(w) = \sum_{i=-m}^{m}c_i·e^{-jwi} = \sum_{i=-m}^{m}c_i(\cos wi - j·\sin wi) \)
Sobre esta expresión podemos decir:

    - la velocidad con que H(w) puedes cambiar con w está restringida por m·w

    - Las oscilaciones de la respuesta en frecuencia son lógicas porque H(w) se compra conjunto finito de funciones oscilatorias.

En la mayoría de las aplicaciones, los diseños son sensibles a la amplitud y el periodo de rizado y la anchura de la región de transición.
Aunque en teoría, los dos efectos son debidos a la misma causa y tienen el mismo sentido de proporción, en la práctica no se puede conseguir que disminuyan a la vez la región de transición y el rizado. Para un filtro de longitud dada existe un compromiso entre la amplitud del rizado y la anchura de la región de transición.
De estos dos problemas surge un objetivo: Identificar claramente en el método de diseño de Fourier las fuentes del rizado y de la región de transición.
Una vez identificadas, proponer modificaciones que reduzcan el rizado y/o la región de transición. Se llega entonces al concepto de VENTANA.

Monografía en 4 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: Ventanas



Página publicada por: José Antonio Hervás