Estás en > Matemáticas y Poesía > Monografías

INTRODUCCIÓN. LA TRANSFORMADA EN Z

monografías

FILTROS DIGITALES RECURSIVOS Y LA TRANSFORMADA Z

INTRODUCCIÓN

En los temas anteriores hemos visto que los filtros recursivos son más difíciles de tratar que los no recursivos. No obstante, existe una razón importante para considerarlos más detenidamente: Dan, con relativamente pocos coeficientes, respuestas en frecuencia que varían rápidamente con w, cosa que no ocurre con los no recursivos.

Este hecho queda suficientemente reflejado en el esquema adjunto en el que se comparan las respuestas en frecuencia de varios filtros no recursivos con uno recursivo.
comparación de la respuesta en frecuencia de filtros  recuursivos y no recursivos

En la figura puede apreciarse con solo 5 coeficientes, el filtro recursivo alcanza una exactitud parecida que uno no recursivo de 101 coeficientes.

La transformada Z, constituye una herramienta de gran valor para el diseño de filtros digitales recursivos y puede como una extensión de la respuesta en frecuencia.

La definición formal de la transformada Z cómo sigue: La serie:

    \( \displaystyle F(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_n·z^{-n}\qquad\qquad\qquad (1·4) \)
Establece una correspondencia entre la secuencia \( f_n \) y la función F(z). Se emplea la notación:
    \( f_n \rightarrow F(z) \)
Para designarla. La función F(z) será denominada la transformada z de \( f_n\) .
La transformada z,F(z), está solamente definida para valores de z reales o complejos para los cuales la serie (1·4) es convergente. Cómo se sabe de la teoría de funciones de variable compleja, la región de convergencia R de la serie de Laurent (1·4) es un anillo \( r_1 < z < r_2 \) cuyos radios interior y exterior \( r_1 \; y \; r_2 \) dependen del comportamiento de \( f_n \) al tender n a \( +\infty \; y \; -\infty \) respectivamente. En este anillo, F(z) es una función analítica de z, es decir, posee derivadas de cualquier orden. Los polos o cualquier singularidad de F(z) están fuera de la región R.
Si \( f_n = 0\) para n<0, si tiene \( r_2 = \infty \) ya que (1·4) posee únicamente potencias negativas de z.

Ejemplo
Hallar la transformada z de la función escalón unitario (salto).
Como sabemos, la expresión analítica de esta función es:
    \( s_k = \left\{
    \begin{array}{l}
    1\qquad si\quad k>0 \\
     \\
    en\; otro\; caso \\
    \end{array}
    \right. \)
Por lo tanto, aplicando la ecuación (1·4) tendremos:
    \( \displaystyle F(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} s_k·z^{-k}= \sum_{k=1}^{\infty}z^{-k} = \frac{1}{1 - z^{-1}} = \frac{z}{z-1} \)
A partir de los dicho puede desarrollarse matemáticamente la teoría de la transformada z. De todos modos, nuestro contexto es más interesante deducir la mediante un argumento de función propia - valor propio, que es idéntico al utilizado para desarrollar la respuesta en frecuencia.
Sea \( x_k = z^k \) (dónde z es un número complejo) la entrada de un filtro no recursivo. Tenemos:
    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=\infty}^{\infty}h_i·z^{k-i} = z^k\left[\sum_{i=\infty}^{\infty}h_i·z^{-i}\right] \)
Por lo tanto \( z^k \) es una función propia para dicho filtro, y:
    \( \displaystyle \sum_{i=\infty}^{\infty}h_i·z^{-i} \)
Su valor propio asociado.
Por definición, el valor propio asociado a la función propia \( z^k\) es la transformada z de la respuesta impulsional del filtro:
    \( \displaystyle Z(h_i) = H(z) = \sum_{i=\infty}^{\infty}h_i·z^{-i}\qquad\qquad (2·4) \)
H(z) es una función racional con una parte real y otra imaginaria que representada tiene la configuración de la figura adjunta
métdo de la transformada Z

Para filtros causales en los que se cumple \( f_n = 0\) para n < 0 siempre a la transformada unilateral dada por:
    \( \displaystyle F_1(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty}f_n·z^{-n}= \sum_{n=0}^{\infty}f_n·z^{-n} \)
Todos los teoremas aplicados a la transformada bilateral se cumplen también, oportunamente modificados, para la transformada unilateral.

Monografía en 4 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: La transformada z y la respuesta en frecuencia



Página publicada por: José Antonio Hervás