Estás en > Matemáticas y Poesía > Monografías

FORMULACIÓN DE H(Z) PARA UN FILTRO GENERAL

monografías

FILTROS DIGITALES RECURSIVOS Y LA TRANSFORMADA Z

Consideramos un filtro recursivo general:

    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=-m}^{m}c_i·x_{k-i} + \sum_{i=1}^{n}d_i·y_{k-i} \)
Sí aplicamos la función \( z^k \) a la entrada de dicho filtro, cómo \( z^k \) es una función propia del filtro y su valor propio asociado es la transformada z de la respuesta, tendremos:
    \( \displaystyle y_k = z^k·H(z) \Rightarrow z^k·H(z) =\sum_{i=-m}^{m}c_i·z^{k-i} + \sum_{i=1}^{n}d_i·z^{k-i}·H(z) \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle H(z) = \frac{\displaystyle \sum_{i=-m}^{m}c_i·z^{-i}}{1 \displaystyle -\sum_{i=1}^{n}d_i·z^{-i} }\qquad\qquad (5.4) \)

La transformada z de un filtro general es la razón de dos polinomios en Z dónde los coeficientes del numerador son los coeficientes de la parte no recursiva del filtro, y los coeficientes del denominador son los coeficientes de la parte recursiva del filtro.
Observaciones
- un filtro causal o realizable ( \( c_i = 0\) para i<0) tiene una transformada z con el grado del denominador menor o igual que el del denominador. Dicho de otro modo, para filtro causal la respuesta impulsional será de la forma:

    \( h(0)·z^o + h(1)·z^{-1} + h(2)·z^{-2} + \cdots \)
Si aparece algún Z con potencia positiva significa que el filtro es NO CAUSAL.
- las representaciones de un filtro digital mediante su ecuación en diferencias y la transformada z de la misma, son equivalentes.
Ejemplo: Calcular los coeficientes de un filtro cuya función de transferencia es:
    \( \displaystyle H(z) = \frac{12·z}{3·z^2+6·z - 9} \)
Dividiendo numerador y denominador por z elevado al mayor exponente:
    \( \displaystyle H(z) = \frac{4·z^{-1}}{1+2·z^{-1} - 3·z^{-2}} \)
Por lo que teniendo en cuenta la ecuación (5·4):
    \( c_1 = 4 \quad ; \quad d_1 = -2 \quad ;\quad d_2 = 3 \)
Y el problema queda resuelto.

Monografía en 4 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: Polos y ceros de una función



Página publicada por: José Antonio Hervás