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ESTABILIDAD

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FILTROS DIGITALES RECURSIVOS Y LA TRANSFORMADA Z

Estabilidad.-
Se dice que un filtro es estable si cualquier secuencia de entradas aceptada (valores finitos) produce una secuencia de salida acotada.
Ejemplo.- vamos a estudiar la estabilidad del filtro:

    \(y_k = a·x_{k-1} + b·y_{k-1}\)
Hemos visto ya que este filtro tiene una respuesta impulsional dada por:
    \( h_k = a·b^k\)
Si representamos esta función para distintos valores de b, resultan los tres casos reflejados en las gráficas adjuntas:

filtros estables y marginalmente estables

De ellas podemos concluir:

    a) cuándo b < 1 la secuencia de la salida esta acotada y el filtro es estable.

    b) cuándo b = 1 la secuencia de salida esta acotada a un valor constante. Se dice entonces que el filtro es marginalmente estable.

    c) cuándo b > 1 la secuencia de salida no está acotada y el filtro es inestable.

Si tomamos la transformada z del filtro que estamos considerando resulta:

    \( \displaystyle Y(z) = a·z^{-1}·X(z) + b·z^{-1}·Y(z) \Rightarrow H(z) =\frac{Y(z)}{X(z)} =\frac{a}{z-b} \)
Es decir que b representa la localización del polo de la función de transferencia del filtro, y la estabilidad de este depende del valor de aquel.
Basándonos en el ejemplo considerado parece que la estabilidad en filtro está controlado por la posición de sus polos. Veamos, no obstante, el impacto de los ceros sobre la esterilidad años viendo algunos al ejemplo del filtro anterior:
    \( \displaystyle y_k = \sum_{i=-m}^{m}c_i·x_{k-i} + b·y_{k-1} \)
Los coeficientes no recursivos (los ceros) afectan a la respuesta impulsional para índices de -m a +m, pero después de k = m el impulso ha pasado a través de la porción no recursiva del filtro y la conducta de la respuesta está totalmente controlada por el polo:
    \( h_k = b·b^k \)
Así pues, los ceros no pueden controlar si la respuesta impulsional crece o no hacia infinito. Es el polo el qué determina el crecimiento o decaimiento de la respuesta impulsional, de forma que es su localización la que determina la estabilidad del filtro.
Nos planteamos ahora la cuestión de como extender los resultados obtenidos a filtros de orden superior.
La solución vendrá dada si encontramos técnicas expresar estos filtros en términos de filtros de primer orden lo cual nos lleva a considerar la descomposición de un filtro.
Para un filtro de una función de transferencia de la forma:
    \( \displaystyle H(z) = \frac{(z-g_1)(z-g_2)...(z-g_m)}{(z-p_1)(z-p_2)...(z-p_n)} \)
Podemos emplear las siguientes descomposiciones:

Descomposición en cascada.- la función de transferencia anterior puede expresarse:

    \( \displaystyle H(z) = \left\{(z-g_1)(z-g_2)...(z-g_m)\right\}\left(\frac{1}{z-p_1}\right)·\left(\frac{1}{z-p_2}\right)···\left(\frac{1}{z-p_n}\right) \)
Y el filtro puede implementarse como el de la figura adjunta
mapa de polos y ceros


En este caso si un polo es inestable es inestable el filtro.

Descomposición en paralelo.- la función H(z) puede descomponerse en fracciones simples:

    \( \displaystyle H(z) = \sum_{i=1}^{n}\frac{A_i}{z-p_i} \)
Con lo que el filtro se implementará como en el esquema adjunto.
mapa de polos y ceros

También en este caso resultará inestable en filtro sí lo es un polo.

Monografía en 4 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: Técnica del impulso invariante



Página publicada por: José Antonio Hervás