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CRITERIO DE DISEÑO

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DISEÑO DE FILTROS NO RECURSIVOS. VENTANAS

El objetivo del diseño de filtros es desarrollar una metodología para calcular la respuesta impulsional de un filtro a partir de la respuesta en frecuencia deseada.
Una vez conocida la respuesta impulsional, es fácil encontrar los coeficientes de un filtro no recursivo (que como sabemos es de longitud finita), ya que se tiene \( c_i = h_i\) .
Desgraciadamente, no existen técnicas sencillas que permitan determinar los coeficientes de un filtro recursivo, conocida su respuesta impulsional.

Esquemáticamente, el proceso de diseño de un filtro es cómo sigue:
proceso de diseño

Siendo D(w) la respuesta en frecuencia deseada y H(w) la respuesta en frecuencia dada por el filtro. Igualmente se ha de cumplir:
    \(H(w) \equiv D(w) \)
Pero esto no siempre es posible.

Una buena técnica de diseño debería generar el "mejor" conjunto de coeficientes posibles, qué diese lugar a un filtro cuya respuesta en frecuencia real, H(w) estuviese muy " próxima" a la deseada, D(w). En esta situación surge el problema de definir qué se entiende por "mejor" y "próxima", por lo que interesa dar una medida matemática de ambos términos.
Para caracterizar el concepto de mejor podríamos emplear el error de diseño E(w), dado por:

    \( E(w) = D(w) - H(w)\qquad\qquad (1·3)\)
Pero resulta más interesante tomar para este criterio el cuadrado de dicha magnitud, esto es:
    \(|E(w)|^2 = \Re\{E(w)\}^2 + \Im\{E(w)\}^2 = E(w)·E^*(w)\qquad\qquad (2·3) \)
Dónde \( E^*(w) \) es el complejo conjugado de E(w).

Ventajas de utilizar \( |E(w)|^2 \)

Entre otras podemos considerar las siguientes:

    a) es una función real.

    b) es más fácil de trabajar con \( |E(w)|^2 \) que con E(w).

    c) refleja una misma contribución de las componentes real e imaginaria del error de diseño.

    d) los grandes errores afectan mucho más que los pequeños a \( |E(w)|^2 \) . Esto implica que el diseño basada en este criterio será más sensible a los grandes errores que a los pequeños.

En la figura adjunta están representadas las gráficas de las funciones D(w) y H(w) para un determinado filtro.
en la figura están representadas las gráficas de las funciones D(w) y H(w) para un determinado filtro

Una diferencia entre ambas funciones es lo que hemos llamado error de diseño y viene también representado junto a su cuadrado en las dos gráficas siguientes.
error de diseño viene  representado junto a su cuadrado en las dos gráficas siguientes

La mayoría de los diseñadores están interesados también en el error de diseño para todas las frecuencias. De ese modo, en lugar de tratar con el error de diseño al cuadrado, \( |E(w)|^2 \) , como una función de la frecuencia, se considera el error total a lo largo de todas las frecuencias. Esto sugiere emplear la integral de \( |E(w)|^2 \) .
Puesto que sabemos que la respuesta en frecuencia es una función periódica de periodo \( 2\pi \) , la elección de la región de frecuencia para la integración es sencilla, ya que \( |E(w)|^2 \) deberá ser también una función periódica del mismo periodo que la respuesta en frecuencia. Así:
    \( \displaystyle \varepsilon = \int_{-\pi}^{\pi}|E(w)|^2 ·dw\qquad\qquad (3·3) \)
Está integral mide el error total entre D(w) y H(w). Cuando las respuestas son iguales, la integral del error al cuadrado es cero. Cuando la respuesta en frecuencia se hacen más distintas, el error crece.
filtros digitales

En las figuras adjuntas están representados algunos ejemplos de D(w) y H(w) junto con los valores de la integral (3·3).
Vemos que existe una buena correspondencia con nuestra noción intuitiva de proximidad: Cuanto más próximas están las respuestas, más pequeño es el error \( \varepsilon \)

Monografía en 4 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: Minimización del criterio de diseño



Página publicada por: José Antonio Hervás