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APLICACIONES:
INTEGRADORES Y DERIVADORES

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RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FILTROS DIGITALES

Integradores.

Un integrador perfecto es un filtro analógico. Su salida, y(t) es la integral de la entrada x(t):

    \( \displaystyle y(t) = \int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\)
Si tomamos como entrada del integrador una función exponencial, tendremos:
    \( \displaystyle x(t) = e^{jwt} \Rightarrow y(t) = \frac{1}{jw}·e^{jwt} \)
De ahí que la respuesta en frecuencia del integrador analógico sea:
    \( \displaystyle H_{int}(w) = \frac{1}{jw}\qquad\qquad (10·2) \)

Vamos a considerar tres integradores digitales y comparar sus respuestas en frecuencia con la de integrador ideal. Las fórmulas de recurrencia son simplemente fórmulas de aproximación matemática.

a) fórmula de Euler

Viene dada por:

    \(y_k = x_k + y_{k-1} \)
En consecuencia, respuesta en frecuencia vale:
    \( \displaystyle H_{Eu1}(w) = \frac{1}{1 - e^{-jw}} \)
b) fórmula trapezoidal

Se escribe:

    \( y_k = .5x_k + .5x_{k-1} + y_{k-1} \)
Y su respuesta en frecuencia es:
    \( \displaystyle H_{Trap}(w) = \frac{.5 + .5e^{-jw}}{1 - e^{-jw}} \)
c) fórmula de Simpson

Está dada por:

    \( y_k = .333x_k + 1.333x_{k-1} + .333x_{k-2} + y_{k-2} \)
Y su respuesta en frecuencia vale:
    \( \displaystyle H_{Simp}(w) = \frac{.333 + 1.333e^{-jw} + .333e^{-j2w}}{1 - e^{-2jw}} \)
En las figuras (a) , (b) y (c), respectivamente, vienen representadas las respuestas en frecuencia de estos integradores.

Si observa en ellas que, para bajas frecuencias \( |w| < \pi/3 \) , las tres aproximaciones son buenas. En cada esquema , los puntos corresponden a la respuesta ideal de un filtro y la línea continua a la respuesta del filtro que se está considerando.

Derivadores

Un derivador ideal produce una salida que es la derivada de la entrada:

    \( \displaystyle y(t) = \frac{d}{dt}[x(t)]\)
Si se toma como entrada de un derivador analógico una función exponencial:
    \( x(t) = e^{jwt} \Rightarrow y(t) = jw·e^{jwt} \)
Por lo que su respuesta en frecuencia será:
    \(H_{Der}(w) = jw \)
Como aproximaciones digitales al derivador pueden emplearse entre otros los dos siguientes:

a) Derivador por diferencias.- se basa en la expresión:

    \(y_k = x_k - x_{k-1} \)
Por lo tanto, respuesta en frecuencia será:
    \( H_{DF}(w) = 1 - e^{-jw} \)
b) Derivador por frecuencias centrales.- se basa en la fórmula de aproximación siguiente:
    \( \displaystyle y_k = \frac{x_k - x_{k-2}}{2·T} \)
Tomando T = 1, para llegar finalmente a:
    \( y_k = .5x_k - .5x_{k-2} \)
Con una respuesta en frecuencia dada por:
    \(H_{DFC}(w) = .5 - .5e^{-j2w} \)
En las figuras adjuntas puede observarse que estas aproximaciones digitales son bastantes buenas para bajas frecuencias, derivador ideal (puntos) cuando la frecuencia aumenta.
aproximación digitalaproximación digital

Monografía en 4 capítulos: Filtros digitales

Capítulo siguiente: Criterio de diseño



Página publicada por: José Antonio Hervás