FORMAS BILINEALES
NUCLEO DE UNA FORMA BILINEAL SIMÉTRICA
Se llama núcleo de una forma bilineal simétrica
al complemento ortogonal de \( V \), es decir, al conjunto de
todos los vectores ortogonales a todos los de \( V \).
Consecuencia: Si S es un subespacio de \( V \), el núcleo
de la forma bilineal restringida a \( S \) (métrica subordinada
a \( S \) ) será:
TEOREMA
El núcleo, \( N \), de una forma bilineal \( \varphi \)
se reduce al vector nulo si y solo si \( \varphi \) es regular
(no degenerada).
DEMOSTRACIÓN
Sea v un elemento de \( N \), entonces, para todo vector de \(
V \) se tiene \( v·x = 0\) y, considerando la matriz asociada
a la forma bilineal :
Según las anteriores condiciones se cumplirá:
\( \forall X \in M_{1n}(K) \rightarrow V^t·A·X
= 0\)
Puesto que \( X \) es la expresión matricial del vector
genérico \( x \).
Se tendrá, por tanto, que la anterior ecuación matricial
se ha de cumplir con los elementos de una base canónica
de, \( M_{1n} \) es decir:
\( V^{\:t}·A·\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
\\
0 \\
\end{array}
\right) = 0 \quad ; \quad V^{\:t}·A·\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
\\
1 \\
\end{array}
\right) = 0\)
Y desarrollando cada uno de los productos tenemos:
\( \begin{array}{l}
V^{\:t}·A·\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
\\
0 \\
\end{array}
\right) = (v_1 \ldots v_n)\left(
\begin{array}{ccc}
u_{11} & \ldots & u_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
u_{n1} & \ldots & u_{nn} \\
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
\\
0 \\
\end{array}
\right)=
\\
\\
= u_{11}·v_1 + \ldots + u_{n1}·v_n = 0
\end{array} \)
...................................................................................
\( \begin{array}{l}
V^{\:t}·A·\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
\\
1 \\
\end{array}
\right) = (v_1 \ldots v_n)\left(
\begin{array}{ccc}
u_{11} & \ldots & u_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
u_{n1} & \ldots & u_{nn} \\
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
\\
1 \\
\end{array}
\right)=
\\
\\
= u_{1n}·v_1 + \ldots + u_{nn}·v_n = 0
\end{array} \)
Con lo que podemos formar el sistema:
\( \begin{array}{c}
u_{11}·v_1 + \ldots u_{n1}·v_n = 0 \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\\
u_{1n}·v_1 + \ldots u_{nn}·v_n = 0
\end{array} \)
Según se sabe por la teoría de ecuaciones lineales,
si la matriz de los coeficientes del sistema es inversible, su
rango es igual al número de ecuaciones del sistema. De
ahí podemos concluir que el sistema solo admite la solución
trivial, es decir, \( v = \{0\} \) de donde se tiene:
\( \begin{array}{c}
N = \{\overline{0}\} \rightarrow \begin{array}{c}
\textrm{solución trivial} \\
\textrm{del sistema homogéneo}
\end{array}\quad \rightarrow
\\
\rightarrow \quad r(A) = n \rightarrow r(\varphi) = n \rightarrow
\varphi\; regular \\
\end{array} \)
CONSECUENCIA
La métrica subordinada a un subespacio \( S \) es regular
si y solo si:
\( S \cap S^0 = \{\overline{0}\} \)
FIN DE LA MONOGRAFÍA FORMAS BILINEALES
|
|