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MATEMÁTICAS

SISTEMAS
DE
ECUACIONES
DIFERENCIALES

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SISTEMAS DE DOS ECUACIONES

Denotando por \( y(x) \:,\: z(x) \) dos funciones cualesquiera, sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden para dichas funciones será de la forma:
    \(y' = f(x,y,z)\qquad ; \qquad z' = g(x,y,z) \)
De forma análoga a como hicimos para una ecuación diferencial de primer orden, obteniendo dicha ecuación a partir de un haz de curvas en el espacio, debemos un sistema de dos ecuaciones de primer orden partiendo de una congruencia de curvas en el espacio.
Se llama congruencia de curvas a todo conjunto de curvas de pendientes de dos constantes o parámetros:
    \(F(x,y,z,C_1,C_2) = 0\qquad ; \qquad \phi(x,y,z,C_1,C_2) = 0 \)
De tal modo que por cada. de pasé una curva y solo una de la congruencia, qué equivale a decir que el sistema anterior determina de forma única \( C_1 \; y \; C_2 \) cómo funciones de \( x,y,z \):
    \( C_1 = f(x,y,z)\qquad ; \qquad C_2 = \varphi(x,y,z) \)
Sí derívamos este último sistema con respecto a la variable \( x \) considerada como independiente tenemos:
    \( \displaystyle f_x + f_y·\frac{dy}{dx} + f_z·\frac{dz}{dx} = 0\quad ;\quad \varphi_x + \varphi_y·\frac{dy}{dx} + \varphi_z·\frac{dz}{dx} \)
De dónde resulta:
    \( \displaystyle \frac{dy}{dx}= \frac{\displaystyle\frac{D(f,\varphi)}{D(x,z)}}{\displaystyle\frac{D(f,\varphi}{D(y,z)}}\qquad ; \qquad \frac{dy}{dx}= \frac{\displaystyle\frac{D(f,\varphi)}{D(x,y)}}{\displaystyle\frac{D(f,\varphi}{D(y,z)}} \)
O de forma más sencilla:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{dx}{\displaystyle\frac{D(f,\varphi}{D(y,z)}}= \frac{dy}{\displaystyle\frac{D(f,\varphi}{D(x,z)}}= \frac{dz}{\displaystyle\frac{D(f,\varphi}{D(x,y)}} \\
     \\
    \frac{dx}{X(x,y,z)} = \frac{dy}{Y(x,y,z)} = \frac{dz}{Z(x,y,z)}
    \end{array} \)
Con lo que hemos obtenido un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden escritas en forma normal o canonica.
En muchos casos prácticos la integración del sistema resulta muy fácil, cuando las ecuaciones tienen variables separadas o acusa inmediatamente una combinación integrable. Ejemplos:
1º) Sea el sistema:
    \( \displaystyle y' = - \frac{x}{y}\quad ; \quad z' = x \Rightarrow x·dx = - y·dy = dz \)
La solución se obtiene inmediatamente y es:
    \( \displaystyle x^2 + y^2 = C_1\quad ; \quad x^2 - 2·z = C_2 \)
2ª) sea el sistema:
    \( \displaystyle \frac{1}{x}·dx = \frac{1}{y}·dy = \frac{1}{z}·dz \)
Su solución será:
    \( \ln y = \ln x + \ln C_1\quad ; \quad \ln z = \ln x + \ln C_2 \)
O lo que es igual:
    \( y = C_1·x\quad ; \quad z = C_2·x \)
Cuando las variables están mezcladas la integración no resulta tan fácil y si sigue el método de reducción a una sola ecuación por eliminación. Sea el sistema:
    \( y' = g(x,y,z) \quad ; \quad z' = h(x,y,z) \)
Derivando la primera ecuación tenemos:
    \( y" = g_x + g_y·y' + g_z·z' \)
Entre estas tres ecuaciones eliminamos \( z,z' \), si es posible, con lo que obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden en \( y\):
    \( y" = f(x,y,y') \Rightarrow y = C(x,C_1,C_2) \)
Una vez resuelta la ecuación en \( y" \), podemos sustituir esta función y en su derivada en la primera ecuación para hallar z.
Ejemplo. Sea el sistema:
    \( y' = 3x+y+z \quad ; \quad z' = x-2y-z \)
Derivando la primera ecuación podemos hacer:
    \( y" = 3 + y' + z' = 3 + y' + x - 2y - z \)
Considerando de nuevo la primera ecuación podemos despejar en ella \( aqui \), con lo que resulta:
    \(y" = 3 + y' + z' = 3 + y' + x - 2y - (y' - 3x - y) = 3 + 4x - y \;; \; y" + y = 4x + 3 \)
Integrando esta ecuación lineal de segundo orden obtenemos:
    \( y = A·\cos x + B·\sin x + 4x + 3 \)
Y sustituyendo en la primera ecuación:
    \( z = y' - y - 3x = (B_A)\cos x - (A+B)\sin x - 7x + 1 \)
El método de reducción a una sola ecuación solo resulta práctico cuando se tienen pocas ecuaciones. Es aplicable a sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes:
    \( \begin{array}{l}
    \hat{L}_1(x_1) + \hat{L}_2(x_2) = g_1(t) \\
     \\
    \hat{L}_3(x_1) + \hat{L}_4(x_2) = g_2(t)
    \end{array} \qquad ; siendo \quad \hat{L}_i = P_i(D) \)
De este sistema podemos eliminar cualquiera de las variables, por ejemplo \( x_1 \), para lo cual multiplicamos la primera ecuación por \( \hat{L}_3 \) y la segunda por \( \hat{L}_1 \) y restamos. Nos queda entonces:
    \( \hat{L}_3·\hat{L}_2(x_2) - \hat{L}_1·\hat{L}_4(x_2) = (\hat{L}_3·\hat{L}_2 - \hat{L}_1·\hat{L}_4)(x_2) = \hat{L}_3[g_1(t)]- \hat{L}_1[g_2(t)] \)
Monografía en catorce capítulos, capítulo primero:
Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
Capítulo siguiente
Ejemplo resuelto de sistema de ED
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Página publicada por: José Antonio Hervás