ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Ejemplo 1.- sea la función diferencial:
Solución
Para ver que esta ecuación diferencial es de diferenciales exactas hacemos:
Y tenemos:
Siendo cierto que la ecuación es del tipo de diferenciales exactas, podemos calcular con facilidad la función integral:
Para conocer el valor de la función φ(x) derivamos U(x, y) respecto de y, e igualamos el resultado a Q:
Así pues, la solución general de la ecuación diferencial estudiada será:
Ejemplo 2.- sea la función diferencial:
Solución
Para ver si es diferencial exacta hacemos:
Puesto que se verifica la condición necesaria y suficiente, podemos poner:
E integrando:
Derivando ahora respecto de y e igualando a Q:
Con lo que la solución general de la ecuación será:
Ejemplo 3.- sea la función diferencial:
Solución.
Operando como en los casos anteriores se comprueba que esta ecuación no es una ecuación diferencial exacta, no obstante, si multiplicamos todos los términos por 1/xy² nos queda:
Con lo que obtenemos una ecuación diferencial que si cumple las condiciones de ser diferencial exacta y a la que podemos aplicarle el método que estamos desarrollando:
Derivando respecto de y e igualando a Q:
Y de esa forma, la solución general será:
Que es válida para todos los puntos en los que se cumpla que x e y son distintos de 0.
Aparte de la solución general, podemos ver que existe una solución singular para el caso y = 0 ó x = 0 ya que entonces la ecuación se verifica trivialmente.
El término 1/xy² recibe el nombre de factor integrante y resulta fácil comprobar que, en general, introduce soluciones singulares en los casos en los que se opera con él.
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