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RELATO MATEMÁTICO

EL EXTRAÑO CASO DEL CUADRADITO FANTASMA

 
Nada hacía presagiar a Jon que la jornada escolar le deparaba una pequeña sorpresa cuando, empujado por un invisible resorte, salía escopetado de la cama mientras sobre sus despistadas orejas incidía suave y envolventemente la voz de su adorada madre animándole a afrontar con buen ánimo aquella fría y húmeda mañana del mes de febrero que intentaba colarse a través de las rendijas de la ventana de su habitación.

Como correspondía a la primera hora de clase de ese día de la semana, Jon Savreh estaba aún intentando despertar de su letargo mañanero para atender las explicaciones de su profesora de aritmética, cuando notó que ésta hablaba en los siguientes términos :

Bien, repitiendo otra vez para los más despistados, os decía que hoy conoceréis algunas propiedades de los triángulos. Para ello, tomaréis, cada uno, uno de los estuches rojos de la parte izquierda del estante inferior del armario de los útiles escolares y, con las piezas de su interior, deberéis construir, en el menor tiempo posible, un triángulo. El primero que consiga el objetivo tendrá un punto extra en la nota de esta evaluación.

Si bien Jon se levantó de su asiento cuando aún estaba hablando la profesora, no le fue posible, por mas que pusiera todo su empeño en ello, hacerse con el primero de los estuches, ya que dicho mérito recayó en su compañero y, sin embargo amigo, David que le ganó por medio pupitre al estar el suyo tres por detrás en la misma fila.

No me importa, pensó mientras volvía como centella a su asiento; seguro que termino antes que nadie y consigo el punto extra que me dará un poco de tranquilidad este mes.

Para su desdicha, a los tres minutos ya estaba Noemí levantando la mano en señal de triunfo. Y después de ella Iván de la Piedra, Guillermo, Cristina y algunos más.

¡Eh, un momento, “profe”!, protestó Jon. No vale, a mí me falta una pieza. Si no fuera por eso habría terminado antes.

Tranquilo, Jon, tranquilo. Eso no es posible; yo misma revisé los estuches ayer y estaban todos completos. Seguro que hay otra explicación.

Profe, Jon tiene razón, a mí también me falta una pieza – Intervino Adrián.

¡No!, no os falta ninguna pieza, es que lo habéis hecho maaaaal– corearon varios compañeros al unísono mientras la clase comenzaba a revolverse más de lo admisible para la profesora.

¡Esta bien!, ¡está bien!. Nadie lo ha hecho mal. Sentaos todos y atended en silencio. Creo que ha llegado el momento de aclarar las cosas y resolver el enigma. Noemí, Jon, traed vuestros montajes y ponedlos encima de mi mesa; trataré de explicaros el supuesto misterio. Para facilitaros la deducción, representaré en la pizarra, sobre un fondo cuadriculado y pintando cada pieza análoga del mismo color, las figuras que Noemí y Jon han dejado sobre la mesa.
 
Consideraremos la figura de la derecha y tomaremos el lado de los cuadraditos sobre los que están representadas ambas como de valor igual a la unidad.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras, visto la semana pasada, para obtener el valor de la hipotenusa del triángulo azul (pequeño), comprobaremos que su valor es : \(\sqrt{2^2 + 5^2}\)

Del mismo, para el valor de la hipotenusa del triángulo rojo (mediano) resulta : \(\sqrt{3^2 + 8^2}\)

Aparentemente, la hipotenusa del "triángulo" grande (con todas las piezas) es la "suma" de las hipotenusas de los triángulos azul y rojo, es decir :\(\sqrt{2^2 + 5^2} + \sqrt{3^2 + 8^2}\)

Pero, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa del triángulo grande (con todas las piezas) vale: \(\sqrt{5^2 + 13^2}\). Haciendo operaciones puede verse que: \(\sqrt{5^2 + 13^2}\) es distinto que \((\sqrt{2^2 + 5^2} + \sqrt{3^2 + 8^2})\) .

Es decir, tenemos que a la figura de la derecha le falta, para ser un verdadero tríangulo, el área de un triángulo de lados \(\sqrt{2^2 + 5^2} \; ,\; \sqrt{3^2 + 8^2} \; y \; \sqrt{5^2 + 13^2} \) y a la otra figura, si incluimos en ella el cuadradito blanco situado entre las piezas varde claro y amarillo, le sobra la misma área, para ser un verdadero triángulo.

Aplicando la llamada fórmula de Herón, matemático y físico ejipcio que vivió entre los siglos I y II antes de Cristo podemos calcular el área de un triángulo a partir de sus lados: \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) , donde a, b y c son los lados respectivos y p es la mitad del perímetro (a+b+c),
    \( \displaystyle p = \frac{\left(\sqrt{2^2 + 5^2} + \sqrt{3^2 + 8^2} + \sqrt{5^2 + 13^2} \right)}{2}\)
Con un poco de paciencia, podemos ver que cada uno de dichos triángulos tiene de área 0,5 unidades cuadradas y la suma de los dos triángulos nos da el valor del hueco de la figura superior.

Toda la clase quedó maravillada con la disertación de la profesora, si bien para muchos resultaba mayor misterio que el del cuadradito fantasma entender que la profesora se emocionara tan efusivamente explicando algo tan árido y complicado como las matemáticas.


tema escrito por: José Antonio Hervás