MOVIMIENTO SOBRE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA
Ejercicio
Juanito se encuentra debajo de la ventana de la casa en la
que vive Pedro y observa, con su escopeta de aire comprimido
en la mano, cómo éste, que está a una
altura h del suelo, lanza horizontalmente con velocidad v1
y en dirección este (E) el bonito avión que
le han regalado sus padres por sacar buenas notas. Entonces,
para incordiar, Juanito dispara su escopeta con la intención
de alcanzar al avión con el disparo.
Considerando que ambos niños se encuentran sobre
el mismo plano vertical y que el perdigón sale a
una velocidad v2, ¿con que dirección
ha de disparar Juanito para alcanzar al avión cuando
éste haya caído la mitad de la distancia h.
Considérese que ambos niños efectúan su
acción al mismo tiempo y en un lugar del hemisferio norte
de colatitud l.
Respuesta
Vamos a analizar en primer lugar el movimiento del avión
y para ello consideraremos que cuando se encuentre en el
aire solo está sujeto a su peso. Según eso,
la ecuación que nos da el valor de la aceleración
del avión, será:
Considerando que la recta de unión de los dos niños
es el eje Z de un referencial local, y que el eje Y está
dirigido hacia el este, podemos poner:
Con lo que se tiene:
Para obtener la trayectoria de un móvil que se
mueve según estas expresiones, debemos desarrollar
dos integraciones. Multiplicando por dt todos los términos
nos queda:
E integrando las ecuaciones para las condiciones iniciales:
Podemos poner:
Multiplicando de nuevo por dt todos los términos
e integrando bajo las mismas condiciones que antes, tenemos:
Para resolver este sistema empleamos el método
de aproximaciones sucesivas, que consiste en introducir
una solución aproximada para resolver el sistema
y con la nueva solución repetir el proceso para obtener
una mejor.
En una primera aproximación hacemos w = 0, con lo
que obtenemos como solución:
Introduciendo esta primera solución en el sistema
nos queda:
Y esas serían las coordenadas del avión
en cualquier instante.
Si el impacto entre el avión y el perdigón
se ha de producir cuando el primero haya caído h/2
metros, podemos poner:
Este tiempo será equivalente para el avión
y el perdigón, ya que ambos comienzan a moverse en
el mismo instante.
Consideraremos ahora las ecuaciones del movimiento para
el perdigón.
Al igual que en el caso del avión, cuando el perdigón
está en el aire, las fuerzas que actúan sobre
él le hacen tomar una aceleración que vendrá
dada por la ecuación (1) anteriormente escrita y
para la que el segundo término de la derecha vale,
como antes igual que en (2).
Como anteriormente, el sistema que escribe la proyección
de la ecuación de la aceleración sobre el
triedro local es (3).
Para obtener la trayectoria del perdigón, integramos
dos veces las ecuaciones obtenidas considerando las condiciones
iniciales siguientes:
Según eso, integrando dos veces, podemos poner:
Este sistema de ecuaciones integrales se resuelve, como
el anterior, por el método de aproximaciones sucesivas.
En una primera aproximación tomamos w = 0, con lo
cual
Introduciendo esta primera solución en el sistema
nos queda:
Cuando el perdigón hace impacto sobre el avión,
sabemos que las coordenadas x e y han de ser iguales para
ambos cuerpos y, además, la coordenada z ha de valer
h/2 en ambos casos; por lo tanto, igualando y simplificando,
podemos formar el sistema:
Que es un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas
(cos a, cos b, cos g) que podemos resolver aplicando la
regla de Cramer. Su solución es:
Para resolver totalmente el ejercicio se sustituye en cada
una de estas expresiones el valor de t calculado anteriormente
para obtener de ese modo los cosenos que marcan la dirección
de la velocidad inicial del perdigón, v2,
en función de las condiciones iniciales del problema.
FIN
|
|
estás
en: 