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APUNTES DE FÍSICAS
MECÁNICA

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA

 
LA FUERZA COMO GRADIENTE DE UN POTENCIAL

Se define la potencia como el producto escalar del vector fuerza por el vector velocidad:

ecuación sobre trabajo, potencia y energía

Cuando un vector es tal que su componente en una dirección es igual a la derivada direccional de una función en aquella dirección, el vector se llama gradiente de la función. Podemos asi decir que F es el negativo del gradiente de U y escribir la ecuación F.cos θ = - dU/ds en la forma general:

ecuación sobre trabajo, potencia y energía

Cuando estemos interesados en las componentes rectangulares de F a lo largo de los ejes X,Y,Z la expresión F. cos θ en la ecuación F. cos θ = - dU/ds será Fx, Fy, Fz y el desplazamiento ds será dx,dy,dz, respectivamente, de forma que

ecuación sobre trabajo, potencia y energía

O lo que es igual:

ecuación sobre trabajo, potencia y energía

Nótese que empleamos la notación de derivadas parciales ya que la energía potencial U (x,y,z) es en general una función de las tres variables x,y,z pero al desplazarse una partícula una distancia dx a lo largo del eje X, por ejemplo, las coordenadas y,z permanecen invariables; por ello en vez de escribir dU/dx debemos poner .
Si el movimiento es plano y se usan las coordenadas r, θ , el desplazamiento a lo largo del radio vector r es dr y el desplazamiento perpendicular al radio vector es r.dθ. Luego, las componentes radial y trasversal de la fuerza son:

ecuación sobre trabajo, potencia y energíaesquema de acción de una fuerza en el plano

Donde de nuevo hemos empleado derivadas parciales.
Un caso importante es aquel en que la energía potencial U depende de la distancia r, pero no del ángulo θ; es decir, en vez de tener U(r, θ), se tiene U(r). Entonces queda:

ecuación sobre trabajo, potencia y energía

con lo cual se tiene \(\vec{F}_\theta = 0\) . La fuerza entonces solo tiene componente radial, de manera que la fuerza es central: su línea de acción pasa siempre por el centro. Recíprocamente, si la fuerza es central, existe tan solo componente radial y \(\vec{F}_\theta = 0\) , dando

ecuación sobre trabajo, potencia y energía

lo que implica que U es independiente de θ. Obtenemos de ese modo el resultado de que una fuerza central depende solamente de la distancia de la partícula al centro, de modo que la energía potencial asociada a una fuerza central depende solamente de la distancia de la partícula al centro de la fuerza, y recíprocamente.
Cuando las fuerzas no son centrales, existe un momento alrededor del punto 0 dado por \(p = \vec{F}_\theta·r\) ya qué la fuerza radial al ser paralela al radio tiene momento nulo.
El momento en función de la energía potencial viene dado por:

ecuación sobre trabajo, potencia y energía

Siempre que la energía potencial depende del ángulo, actúa un momento sobre el sistema causando un cambio en el momento angular en dirección perpendicular al plano del ángulo.
Monografía: Trabajo y energía mecánica
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tema escrito por: José Antonio Hervás