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APUNTES DE FÍSICAS
TERMODINÁMICA

TEOREMA DE CLAUSIUS

 
TEOREMA DE CLAUSIUS

Capítulo anterior Temperatura absoluta


La ecuación obtenida para un ciclo de Carnot:
    \( \displaystyle \frac{Q_1}{T_1} = \frac{Q_2}{T_2}\quad (13) \)
puede generalizarse para un ciclo cualquiera. Esta generalización constituye el teorema de Clausius.

Para la demostración de este teorema vamos a considerar dos teoremas previos:

TEOREMA 1

Para un proceso reversible entre dos estados siempre es posible trazar una trayectoria quebrada formada por una adiabática seguida de una isoterma y otra adiabática entre los dos estados, de tal modo que el calor transferido en el proceso isotérmico sea igual al calor transferido en el proceso inicial.

proceso reversible 
En efecto, sea i-f la trayectoria reversible. Tracemos la curva i-a-b-f formada por las dos adiabáticas que pasan por i y por f, y una isoterma que las corta trazada de tal modo que se cumpla:
    \( W_{if}= W_{iabf}\)
es decir, con la condición de que la trayectoria quebrada encierre la misma, área que la trayectoria inicial. De acuerdo con el primer principio se tendrá:
    \( U_f - U_i = Q_{if} + W_{if} =Q_{iabf} + W_{iabf} \rightarrow Q_{if} =Q_{iabf} \)
como queríamos demostrar

TEOREMA 2

Dos líneas adiabáticas no pueden nunca cortarse.

En efecto, si se cortan siempre será posible cerrar un ciclo con una isoterma, contradiciendo el enunciado de Kelvin-Plank. Por tanto, las adiabáticas no pueden cortarse.
Pasamos ya a demostrar el teorema de Clausius. Para ello consideremos un ciclo reversible cualquiera y tracemos una red de adiabáticas. Entre dos adiabáticas contiguas trazamos isotermas, de forma que el calor transferido en el trozo de ci cío entre dos adiabáticas sea igual al calor transferido en el proceso isotérmico.

ciclo quebrado 
Tenemos, de esa forma, un ciclo quebrado formado por adiabáticas e isotermas. El calor transferido en este ciclo es igual al transferido en el ciclo inicial.
La trayectoria a-b-c-d forma un ciclo de Carnot; por lo tanto se verificará la ecuación (13), donde \(T_1\; y \;T_2\) son las temperaturas respectivas de los procesos isotérmicos a-b y c-d.

Si el calor desprendido lo consideramos como negativo, de acuerdo con el criterio usual de signos, se tendrá:
    \( \displaystyle \frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} = 0\)
lo mismo ocurrirá en el resto del ciclo quebrado. Por consiguiente, sumando todas las expresiones obtenemos:
    \( \displaystyle \sum \frac{Q}{T} = 0 \quad (14) \)
donde la suma está extendida a todo el ciclo quebrado.

Si trazamos una red adiabática muy tupida, en el límite, la temperatura de los proce sos isotérmicos será igual a la temperatura en los trozos infinitesimales del ciclo inicial (temperatura en un punto). Por tanto, pasando de sumación a integración, tendré mos para el ciclo inicial:
    \( \displaystyle \oint_R \frac{\delta Q}{T} = 0 \quad (15) \)
donde el subíndice R hace referencia a que el resultado es válido solo para un ciclo reversible.

La anterior expresión constituye el teorema de Glausius.

Monografía en tres capítulos, TERMODINAMICA Capítulo uno ciclo de Carnot
 

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tema escrito por: José Antonio Hervás