Estás en > Matemáticas y Poesía > Monografías

APUNTES DE MATEMÁTICAS
ANÁLISIS MATEMÁTICO

SERIES DE NÚMEROS REALES - PROPIEDADES

 

Parte anterior: Conceptos

PROPIEDADES DE LAS SERIES




El carácter de una serie no se altera si se suprimen o alteran un número finito de términos.

series de números reales

Suprimiendo los p primeros términos, tenemos:

series de números reales

La serie A’n tiene el mismo carácter que la serie An pues K es un número finito.

series de números reales

Alterando los p primeros términos, tenemos:

series de números reales

Puesto que p es un número finito. De ahí tenemos:

series de números reales

El carácter de una serie no se altera si todos sus miembros se multiplican por una cantidad constante:

series de números reales

El carácter de una serie convergente o divergente no se altera si se emplea la propiedad asociativa de la suma. Tampoco varía la suma de la serie si esta es convergente. Sea la serie:

series de números reales

Asociando términos obtenemos la serie:

series de números reales

Y así:

series de números reales

La nueva sucesión A’n está contenida en An y se demuestra que ambas sucesiones tienen el mismo límite.
Si la serie es oscilante, no subsiste para ella la propiedad asociativa vista. Ejemplo:

series de números reales

No se pueden descomponer arbitrariamente los términos en sumas de varios, pues de que la sucesión tenga un límite finito o infinito no se desprende que la sucesión inicial lo tenga.
Ejemplo.- de la serie convergente:

series de números reales

Se deduce por disociación (descomposición de términos en sumas de varios) la serie:

series de números reales

Que es una serie oscilante.

SERIES SUMABLES DIRECTAMENTE

Diremos que una serie series de números realeses hipergeométrica si se puede expresar en la forma:

series de números reales

Siendo alfa (α), beta (β) y gamma (γ) números reales con la condición de alfa y gamma no sean cero simultáneamente.
Según la expresión general se tiene:

series de números reales

Dando valores a an obtenemos:

series de números reales

Sumando por la izquierda tenemos:

series de números reales

Sumando por la derecha tenemos:

series de números reales

Igualando miembro a miembro y eliminando los términos equivalentes queda

series de números reales

Operando con los paréntesis:

series de números reales

Y, finalmente:

series de números reales

Otro tipo de series que pueden ser sumadas directamente son aquellas que admiten expresiones de la forma:

series de números reales

La sucesión a formar sería:

series de números reales

La serie de término general:

series de números reales

Siendo los ceros del polinomio denominador números reales, es convergente cuando el grado del denominador excede al menos en dos unidades al del numerador.
El procedimiento para encontrar su suma consiste en descomponer an en fracciones simples:

series de números reales

Siendo p el grado del denominador y supuesto que no presenta raíces múltiples. La obtención de los coeficientes A, B, …, H se hace como sigue:

series de números reales

Multiplicando ambos miembros por Q(n) nos queda:

series de números reales

Haciendo n = a, se anulan todos los términos del segundo miembro que contengan dicha raíz, por lo que nos queda:

series de números reales

Y operando de modo análogo con las demás raíces:

series de números reales

La suma se desarrolla entonces como se indica en el siguiente ejemplo:

series de números reales

Y dando valores a n:

series de números reales

Y llevando al límite:

series de números reales

La serie cuyo término general es de la forma:

series de números reales

O con denominador análogo, es otro tipo de serie sumable directamente. El procedimiento general consiste en descomponer el término general en la forma:

series de números reales

Siendo h el grado de P(n).
Reduciendo a común denominador

series de números reales

Dando a n los valores 0, 1, 2, …, h, obtenemos los valores de los coeficientes, quedando entonces la serie:

series de números reales

Pues cada una de las series:

series de números reales

Tiene por suma e.

Parte siguiente: EJEMPLOS DE SERIES SUMABLES
 

MIRA OTROS CONTENIDOS DE MATEMÁTICAS Y POESÍA



tema escrito por: José Antonio Hervás