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APUNTES DE MATEMÁTICAS
ANÁLISIS MATEMÁTICO

SERIES DE NÚMEROS REALES

 
PROPIEDADES DE LAS SERIES DE NÚMEROS REALES.

RESUMEN

Esta monografía está dividida en tres partes; en la primera, introducimos el concepto de serie de números reales; en la segunda estudiamos sus propiedades más significativas y en la tercera damos ejemplos de varias series sumables.

INTRODUCCIÓN

Dada una sucesión indefinida de números reales cualesquiera:

series de números reales

Se llama serie al algoritmo:

series de números reales

Es decir, al algoritmo resultante de combinar la operación de sumar con el paso al límite.
Esto no puede interpretarse sin más como una suma de infinitos términos, sino que su significado es el siguiente:
Consideremos la sucesión an y asociémosle la sucesión An de sumas parciales:

series de números reales

Como podemos darle a “n” cualquier valor natural, obtenemos una sucesión indefinida de números:

series de números reales

Cada uno de los cuales recibe el nombre de suma parcial asociada a ai.
Si dicha sucesión es convergente, es decir, si existe un número A tal que:

series de números reales

Dicho número se llama suma de la serie y se dice que esta es convergente. Por tanto, suma de una serie convergente es el límite de la sucesión de sumas parciales y se escribe simbólicamente en la forma:

series de números reales

Si la sucesión de sumas parciales es divergente, series de números reales, se dice que la serie es divergente.
Si la sucesión de sumas parciales carece de límite, la serie se llama oscilante. Sólo se habla de la suma de una serie cuando la sucesión de sumas parciales es convergente.

Se denomina resto de orden K al error cometido despreciando los (K + 1) siguientes términos de la sucesión de sumas parciales:

series de números reales

Se llama progresión o serie geométrica a una sucesión de números tales que cada uno es igual al anterior multiplicado por un número fijo llamado razón. Si llamamos “a” al primer término y “k” a la razón, la progresión tendrá la forma:

series de números reales

La suma Un de los n primeros términos es como sigue:

series de números reales

Restando miembro a miembro nos queda:

series de números reales

Fórmula que nos da la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica para k distinta de uno.
Recibe el nombre de serie geométrica la formada con los términos de la progresión geométrica vista.
Basándonos en la última expresión, podemos estudiar el comportamiento de la serie para distintos valores de k. Si

series de números reales

Y la serie resulta convergente con suma dada por (*)
Si:

series de números reales

Y la serie es divergente.
Si:

series de números reales

Y la serie es divergente.
Si:

series de números reales

Y la serie es oscilante.

RESULTADOS RELATIVOS AL CARÁCTER DE UNA SERIE.

El criterio general de convergencia de Cauchy para series establece que para que una serie sea convergente es necesario y suficiente que se cumpla:

series de números reales

Si la condición no se cumple para un par de valores p, q, entonces la serie no es convergente.
Si en particular tomamos p = n – 1 ; q = n, tenemos:

series de números reales

Que es una condición necesaria pero no suficiente para la convergencia de una serie.
La forma negativa de este criterio es más importante. Si series de números reales no tiende a cero es condición suficiente para que la serie series de números reales sea divergente.
Hemos visto que la condición lím an = 0 es necesaria pero no suficiente para la convergencia de una serie. Como ejemplo de ello, tenemos la serie armónica:

series de números reales

Llamada así porque cada término es media armónica de sus dos valores contiguos.
Para la serie armónica se tiene:

series de números reales

Agrupando los términos de igual denominador se tiene:

series de números reales

Por lo tanto, como k tiende a infinito, la serie tenderá a infinito pues cada término de la sucesión de sumas parciales de la serie armónica se conserva mayor que la serie obtenida sustituyendo los términos que están entre:

series de números reales

Incluidos estos, por el valor menor de 1/2j, que es lo que hemos hecho.
Otra condición necesaria y suficiente para la convergencia de una serie es que el resto tienda a cero. Recíprocamente, si una serie es convergente, el resto de orden k tiende a cero.

series de números reales

Partes siguientes: PROPIEDADES DE LAS SERIES    ;    EJEMPLOS DE SERIES SUMABLES
 

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tema escrito por: José Antonio Hervás