PROPIEDADES DE LAS SERIES DE NÚMEROS
REALES.
RESUMEN
Esta monografía está dividida en tres partes; en
la primera, introducimos el concepto de serie de números
reales; en la segunda estudiamos sus propiedades más significativas
y en la tercera damos ejemplos de varias series sumables.
INTRODUCCIÓN
Dada una sucesión indefinida de números reales cualesquiera:
Se llama serie al algoritmo:
Es decir, al algoritmo resultante de combinar la operación
de sumar con el paso al límite.
Esto no puede interpretarse sin más como una suma de infinitos
términos, sino que su significado es el siguiente:
Consideremos la sucesión an y asociémosle
la sucesión An de sumas parciales:
Como podemos darle a “n” cualquier valor natural,
obtenemos una sucesión indefinida de números:
Cada uno de los cuales recibe el nombre de suma parcial asociada
a ai.
Si dicha sucesión es convergente, es decir, si existe un
número A tal que:
Dicho número se llama suma de la serie y se dice que esta
es convergente. Por tanto, suma de una serie convergente es el
límite de la sucesión de sumas parciales y se escribe
simbólicamente en la forma:
Si la sucesión de sumas parciales es divergente,  ,
se dice que la serie es divergente.
Si la sucesión de sumas parciales carece de límite,
la serie se llama oscilante. Sólo se habla de la suma de
una serie cuando la sucesión de sumas parciales es convergente.
Se denomina resto de orden K al error cometido despreciando los
(K + 1) siguientes términos de la sucesión de sumas
parciales:
Se llama progresión o serie geométrica a una sucesión
de números tales que cada uno es igual al anterior multiplicado
por un número fijo llamado razón. Si llamamos “a”
al primer término y “k” a la razón,
la progresión tendrá la forma:
La suma Un de los n primeros términos es como
sigue:
Restando miembro a miembro nos queda:
Fórmula que nos da la suma de los n primeros términos
de una progresión geométrica para k distinta de
uno.
Recibe el nombre de serie geométrica la formada con los
términos de la progresión geométrica vista.
Basándonos en la última expresión, podemos
estudiar el comportamiento de la serie para distintos valores
de k. Si
Y la serie resulta convergente con suma dada por (*)
Si:
Y la serie es divergente.
Si:
Y la serie es divergente.
Si:
Y la serie es oscilante.
RESULTADOS RELATIVOS AL CARÁCTER DE UNA SERIE.
El criterio general de convergencia de Cauchy para series establece
que para que una serie sea convergente es necesario y suficiente
que se cumpla:
Si la condición no se cumple para un par de valores p,
q, entonces la serie no es convergente.
Si en particular tomamos p = n – 1 ; q = n, tenemos:
Que es una condición necesaria pero no suficiente para
la convergencia de una serie.
La forma negativa de este criterio es más importante. Si
no tiende a cero es condición suficiente para que la serie
sea divergente.
Hemos visto que la condición lím an =
0 es necesaria pero no suficiente para la convergencia de una
serie. Como ejemplo de ello, tenemos la serie armónica:
Llamada así porque cada término es media armónica
de sus dos valores contiguos.
Para la serie armónica se tiene:
Agrupando los términos de igual denominador se tiene:
Por lo tanto, como k tiende a infinito, la serie tenderá
a infinito pues cada término de la sucesión de sumas
parciales de la serie armónica se conserva mayor que la
serie obtenida sustituyendo los términos que están
entre:
Incluidos estos, por el valor menor de 1/2j, que es lo que hemos
hecho.
Otra condición necesaria y suficiente para la convergencia
de una serie es que el resto tienda a cero. Recíprocamente,
si una serie es convergente, el resto de orden k tiende a cero.
Partes siguientes: PROPIEDADES
DE LAS SERIES ; EJEMPLOS
DE SERIES SUMABLES
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