En mecánica cuántica se utilizan normalmente funciones de onda normalizadas. Para ello se exige que:

\( \displaystyle \int \psi^*(q,t)·\psi(q,t)·dq = 1 \)

Sin embargo, para una función arbitraria está integral va a ser una función del tiempo. Es decir, exigimos que la integral sea la unidad en un cierto instante, en un estante posterior no tiene por qué serlo. Esto no plantea, no obstante, ningún problema, ya que \( \psi(q,t) \) no es una función arbitraria, sino que tiene que cumplir unas condiciones mínimas para poder ser una función de onda.
Demostrar que, efectivamente, para una función de onda la integral anterior es una constante independiente del tiempo, y por tanto va a estar a normalizar la función en un estante cualquiera para que esté normalizada en cualquier otro. Resaltar las propiedades de la función de onda de las que se hacen uso en la demostración.

RESPUESTA

Para que la definición de probabilidad sea coherente, es necesario que la norma, N, de la función de onda permanezca constante en el tiempo.
Si las funciones \( \psi , \psi^* \) funciones de onda, satisface la ecuación de Schrödinger. Mando una otra forma de ecuación tendremos dos modos de demostrar que la norma de una función de onda es invariante en el tiempo.
a) tomemos la ecuación de Schrödinger en cualquiera de sus dos formas:

\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{i·\hbar}{2·m}\nabla^2\psi + \frac{V \psi}{i·\hbar} \\
 \\
\frac{\partial \psi^*}{\partial t} = - \frac{i·\hbar}{2·m}\nabla^2\psi^* + \frac{V \psi^*}{i·\hbar} \\

\end{array} \)

Para una sola dimensión tendremos:

\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{i·\hbar}{2·m}\frac{\partial^2\psi}{\partial q^2} + \frac{V \psi}{i·\hbar} \\
 \\
\frac{\partial \psi^*}{\partial t} = - \frac{i·\hbar}{2·m}\frac{\partial^2\psi^*}{\partial q} + \frac{V \psi^*}{i·\hbar} \\

\end{array} \)

Derivando respecto al tiempo integrando obtenemos:

\( \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}(\psi·\psi^*) = \dot{\psi}^*·\psi + \psi^*·\dot{\psi} = -\frac{i·\hbar}{2·m}\left(\psi\frac{\partial^2\psi^*}{\partial q^2} - \psi^*\frac{\partial^2}{\partial q^2}\right) \)

Sustituyendo en la integral, y extendiendo está a todo el espacio, q \( (-\infty , +\infty) \) resulta:

\( \displaystyle \frac{\partial I}{\partial t} = - \frac{i·\hbar}{2·m}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\psi\frac{\partial^2\psi^*}{\partial q^2} - \psi^*\frac{\partial^2}{\partial q^2}\right)·dq \)

Para que esta función permanezca constante es necesario y suficiente que:

\( \displaystyle \frac{\partial I}{\partial t} = 0\)

Es decir:

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\psi\frac{\partial^2\psi^*}{\partial q^2} - \psi^*\frac{\partial^2 \psi}{\partial q^2}\right)·dq = 0 \quad(1)
\)

Para realizar la integración lo hacemos por partes.Llamando:

\( \displaystyle u = \psi^* \rightarrow du = \frac{\partial \psi^*}{\partial q}·dq \quad ; \quad dv = \frac{\partial^2 \psi}{\partial q^2}·dq \Rightarrow v = \frac{\partial \psi}{\partial q} \)

Resulta:

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*\frac{\partial^2\psi }{\partial q^2}·dq = \left.\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial q}\right]_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial \psi^*}{\partial q}·\frac{\partial \psi}{\partial q}·dq \)

Esta última integral también la podemos obtener por partes:

\( \displaystyle u = \frac{\partial \psi^*}{\partial q}\Rightarrow du = \frac{\partial^2\psi^*}{\partial q^2}·dq\quad ;\quad dv = \frac{\partial\psi}{\partial q}·dq \Rightarrow v = \psi \)

Y tenemos:

\( \displaystyle - \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial \psi^*}{\partial q}·\frac{\partial \psi}{\partial q}·dq = - \left[\psi\frac{\partial \psi^*}{\partial q}\right]_{-\infty}^{+\infty} + \int_{-\infty}^{+\infty} \psi\frac{\partial^2\psi^* }{\partial q^2}·dq \)

Pero esta última integral es justamente el segundo miembro de (1); por consiguiente:

\( \displaystyle \left[\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial q}\right]_{-\infty}^{+\infty} - \left[\psi\frac{\partial\psi^* }{\partial q}\right]_{-\infty}^{+\infty}= 0 \)

Y esta igualdad es cierta porque \( \psi \) es una función de onda que cumple:

1) \( \psi \) es continua en todo el espacio y su primera derivada también.
2) \( \psi \) tiende a 0 para q tendiendo a \(+ \infty \) o tendiendo a \(- \infty \).

(se podría haber llegado al mismo resultado aplicando el teorema de Green)

b) tomando la ecuación de Schrödinger en la otra forma:

\( \displaystyle \hat{H}\psi = i·\hbar·\frac{\partial \psi}{\partial t}\quad; \quad -( \hat{H}\psi)^* = i·\hbar·\frac{\partial \psi^*}{\partial t} \)

Derivando respecto al tiempo el integrando:

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial t}(\psi·\psi^*) = \psi^*\left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)+ \left(\frac{\partial \psi^*}{\partial t}\right)\psi = \frac{1}{i·\hbar}\left[\psi^*(\hat{H}·\psi)- (\hat{H}·\psi)^*·\psi\right] \)

Integrando los dos miembros de la ecuación sobre todo el espacio (espacio de configuración) resulta:

\( \displaystyle \frac{dI}{dt}= \frac{1}{i·\hbar} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\psi^*(\hat{H}·\psi)- (\hat{H}·\psi)^*·\psi\right] dq \qquad ; \; con\; q \in [-\infty , \infty] \)

Por consiguiente, para que la norma permanezca constante a lo largo del tiempo, necesario y suficiente que se tenga:

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*(\hat{H\psi })dq = \int_{-\infty}^{+\infty}(\hat{H\psi })^*\psi dq \)

Y esto es justamente la definición de producto escalar:

\( \langle\hat{H}\psi , \psi\rangle = \langle\psi , H\psi\rangle \)

La expresión se verificará si el operador hamiltoniano es hermítico (cómo así ocurre, según se ha visto en otro problema), por lo tanto la definición de norma y la de probabilidad son coherentes.

Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto: