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APUNTES DE FISICA
MECÁNICA - DINÁMICA

EL PROBLEMA DE DOS CUERPOS

 
EL PROBLEMA DE DOS CUERPOS. MASA REDUCIDA

Introducimos ahora una cantidad llamada masa reducida del sistema de dos partículas y designada por \( \mu \) , que definimos por :
    \( \displaystyle \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} = \frac{m_1 + m_2}{m_1·m_2} \)

    \( \displaystyle \mu = \frac{m_1·m_2}{m_1 + m_2}\)
Podemos escribir entonces la ecuación (A) en la forma:

    \( \displaystyle a_{12} = \frac{F_{12}}{\mu} \Rightarrow F_{12} = \mu·a_{12} \)
De donde podemos enunciar que el movimiento relativo de dos partículas sujetas únicamente a una interacción mutua es equivalente al movimiento, relativo a un observador inercial, de una partícula de masa igual a la masa reducida bajo una fuerza igual a la interacción.
Por ejemplo, podemos reducir el movimiento de la luna relativo a la tierra a un problema de una única partícula usando la masa reducida del sistema luna-tierra y una fuerza igual a la atracción de la tierra sobre la luna.

De la misma forma, cuando hablamos del movimiento de un electrón alrededor del núcleo, podemos suponer el sistema reducido a una partícula con masa igual a la masa reducida del sistema electrón-núcleo moviéndose bajo la fuerza entre el electrón y el núcleo.

Por consiguiente, al describir el movimiento de dos partículas bajo su interacción mutua podemos separar el movimiento del sistema en el movimiento del centro de masa cuya velocidad es constante, y el movimiento de las dos partículas, dado por las ecuaciones desarrolladas anteriormente, referido a un sistema de referencia ligado al centro de masa.

Cuando una de las partículas tiene una masa mucha mas pequeña de la otra, por ejemplo la m1, la masa reducida se puede escribir:

    \( \displaystyle \mu = \frac{m_1}{1 + m_1/m_2} \cong m_1 \left(1 - \frac{m_1}{m_2}\right) \)

Donde hemos empleado la aproximación

    \( \displaystyle (1+x)^n \cong 1 + nx ( \textrm{ cuando } x<<1) \)

Esto conduce a una masa reducida aproximadamente igual a la masa de la partícula mas ligera. Por ejemplo, al discutir el movimiento de un satélite artificial alrededor de la tierra podemos usar, con muy buena aproximación, la masa del satélite y no la masa reducida del sistema tierra-satélite.

Por otra parte, cuando las dos partículas tienen la misma masa \( (m_1 = m_2 ) \) se tiene:

    \( \displaystyle \mu = \frac{1}{2}· m_1\)

Esta ecuación se puede emplear para el caso de dos protones interactuando entre si y también, con muy buena aproximación para un sistema formado por un neutrón y un protón, tal como ocurre en el deuterón.
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás