Estás en > Matemáticas y Poesía > Monografías

MONOGRAFIAS FÍSICAS

MOVIMIENTO EN CAMPOS MAGNÉTICOS

 

MOVIMIENTO EN CAMPOS MAGNÉTICOS - I

Para simplificar, vamos a considerar en primer lugar el caso de una partícula que se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme. La fuerza que el campo ejerce sobre ella viene dada en este caso por la ecuación:

    \( F = Q·v·B\)
Y puesto que la fuerza es perpendicular a la velocidad, su efecto será cambiar la dirección de esta sin cambiar su modulo, resultando, por tanto, un movimiento circular uniforme. La aceleración que adquiere la partícula en estas condiciones será científica, cuando las ecuaciones del movimiento, podemos poner:

    \( \displaystyle F = \frac{m}{R}v^2 \)
Dónde F es la fuerza magnética.
Si igualamos las dos ecuaciones anteriores nos queda:

    \( \displaystyle\frac{m}{R}v^2 = Q·v·B \Rightarrow R = \frac{m·v}{Q·B} \)
Ecuación que nos da el radio de la circunferencia descrita por la partícula.
Escribiendo V = R·w , donde w es la velocidad angular, tenemos:

    \( \displaystyle \omega = \frac{v}{R} = \frac{Q}{m}B (si\; \omega = Cte) T = 2\pi·\frac{m}{Q·B} \)
Vemos, por tanto, que la velocidad angular es independiente de la velocidad lineal y depende solamente del cociente Q/m y del valor del campo, B.
La anterior expresión para w, nos da su módulo pero no su dirección. No obstante si recordamos que la aceleración es un movimiento circular uniforme se puede describir en forma vectorial como:

    \( \vec{a} = \vec{\omega}\wedge\vec{v} \)
Y que, por tanto, la ecuación del movimiento \( \vec{F} = m·\vec{a} \) es:

    \( m· \vec{\omega}\wedge\vec{v} = Q·\vec{v}\wedge\vec{B} \)
Podemos dividir por m e invertir el producto vectorial en el segundo miembro con lo que tenemos:

    \( \displaystyle \vec{\omega}\wedge\vec{v} = - \left(\frac{Q}{m}\right)·\vec{B}\wedge\vec{v} \)
Y finalmente:

    \( \displaystyle \vec{\omega} =- \left(\frac{Q}{m}\right)·\vec{B} \)
Ecuación que nos da w, tanto en módulo como en dirección.
Vamos a considerar ahora un caso más general en el que la partícula se mueve oblicuamente respecto a un campo magnético uniforme.
La velocidad de la partícula será la superposición de una componente paralela y otra perpendicular al campo:

    \( \vec{v} = v_\parallel + v_\perp \Rightarrow \vec{F} = Q(v_\parallel + v_\perp)\vee \vec{B} = Q·\vec{v_\perp}\wedge \vec{B} \)
La fuerza que se ejerce sobre la partícula es, por tanto, apendicular a \( v_\perp \) y actúa sobre un plano perpendicular a B.
Como F no tiene componente paralela, \( v_\parallel \) permanecerá constante y valdrá:

    \( v_\parallel = v·\cos \varphi \)

Dónde \( \varphi \) es el ángulo formado por v y B.

trayectoria de una partículaen un campo magnético

La componente perpendicular de \( v(v_\perp) \) para que la partícula describe una trayectoria como la estudiada en el apartado anterior, es decir, una circunferencia. Esta circunferencia será la proyección sobre un plano perpendicular a B, de la trayectoria Real.
Recordando que \( v_\perp = v·\sin \varphi \) podemos poner:

    \( \displaystyle R = \frac{m·v}{Q·B} = \frac{m·V·\sin \varphi}{Q·B} \quad ; \quad \omega = \frac{v_\perp}{R} = \frac{Q}{m}·B \quad ; \quad T = 2\pi·\frac{m}{Q·B} \)
La trayectoria real de la partícula será la superposición de los dos movimientos considerados, es decir, describirá una hélice arrollándose sobre la dirección del campo magnético.
El paso de esta hélice vendrá todo por la distancia recorrida según \( v_\parallel \) en el tiempo T:

    \( \displaystyle h = T·v_\parallel = 2\pi·\frac{m·V}{Q·B}\cos \varphi \)
Si el campo magnético no es uniforme, la partícula describe una hélice cuyo radio varía continuamente. Si, por ejemplo, la componente paralela de la velocidad tiene el mismo sentido que la intensidad del campo, su valor va disminuyendo progresivamente (con lo que también disminuiría el paso de la hélice) hasta anularse, siempre que el campo magnético sean lo suficientemente largo, y la partícula es forzada a volver, es decir, a moverse en sentido antiparalelo al campo.
Se produce entonces el llamado efecto espejo que se usa ampliamente para contener gases ionizados o plasmas.
Sí sobre la partícula en movimiento actúa un campo eléctrico paralelo y un campo magnético perpendicular, esta se mueve describiendo una cicloide.

una cicloide, trayectoria de una partícula en un campo magnético

Monografía en cinco capítulos, primer capítulo: Movimientos. Capítulo dos Rayos catódicos

 

MIRA OTROS CONTENIDOS DE MATEMÁTICAS Y POESÍA

Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




tema escrito por: José Antonio Hervás