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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
ELECTRICIDAD

ELECTROSTÁTICA - TÉCNICAS DE RELAJACIÓN

 
MONOGRAFIA.- PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS.

INTRODUCCIÓN

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

TECNICAS DE RELAJACIÓN


El método de relajación es una técnica matemática de resolución numérica que se estudia en análisis numérico. Nosotros nos limitaremos a hacer una descripción del método para el caso que nos ocupa.

Electrostática. Relajación
En nuestro problema de dos dimensiones la técnica de relajación consiste en reemplazar la superficie continua de puntos en la que nos interesa calcular el potencial, por una red de puntos, limitada por la frontera del problema, tal como se indica en la figura 1.

Sobre los puntos de la frontera el valor del potencial viene fijado por las condiciones de contorno del problema. Pero a los puntos que no son del contorno y que llamaremos puntos libres, tenemos que asignarles unos determinados valores iniciales del potencial. Una vez fijados los valores iniciales, el método de relajación consiste en reemplazar el valor inicial del potencial en un punto libre determinado por el valor medio del de sus vecinos.

De acuerdo con las ecuaciones (21), (24) ó (30), según que el sistema coordenado elegido sea rectangular, cilíndrico o de otro tipo. La operación se realiza para cada punto libre de la red completando así una iteración. De ese modo, hemos sustituido los valores iniciales por unos nuevos valores promedio. Partiendo de estos nuevos valores se encuentra, al cabo de l iteraciones, un razonable criterio de convergencia para el valor del potencial en cada punto libre; es decir, hasta que los cambios se hagan despreciables.

La asignación de los valores iniciales del potencial en los puntos libres puede hacerse basándose en la solución analítica para un problema similar o en medidas experimentales, o bien, partiendo de una fórmula que se ajuste a las condiciones de contorno y dar valores iniciales a los puntos libres según ella, etc. Ahora bien, en el estudio matemático del método de relajación se demuestra que si el radio espectral de la matriz asociada al problema (ver anexo) es menor que la unidad, el proceso de iteración converge siempre hacia unos determinados valores, cuando el número de iteraciones tiende a infinito.

Sería interesante hacer un estudio sobre las limitaciones que impone esta condición a la fijación de los valores iniciales del potencial de nuestro problema. No obstante, para nuestro propósito, aceptaremos que el proceso va a ser convergente siempre que la asignación de los valores iniciales no sea arbitraria y se realice mediante algún criterio de plausibilidad.

Se demuestra también que introduciendo un factor de optimización w (1 < w < 2) se obtiene una aceleración del proceso de convergencia. En esta ampliación del método de relajación, denominada sobrerelajación ó SOR, del inglés “Successive over-relaxation”, el valor del potencial Φ en un punto (i, j) viene dado por:

Electrostática. Relajación

Donde \(\phi _{ij}^{l}\) es el valor del potencial en el punto (i, j) obtenido en la l-ésima iteración.
El valor óptimo del factor de relajación w para el caso de que a lo largo del eje OX y del OY tomemos la misma δ viene dado por (ver anexo)

Electrostática. Relajación

Donde δ debe ajustarse a las dimensiones características del problema y es un parámetro que nos indica que cuanto más detalle requiera el problema más pequeño tendremos que hacer δ.

Esencialmente, el método SOR consiste en obtener mediante la ecuación (31) el valor \(\phi _{ij}^{SOR}\) una vez conocido \(\phi _{ij}^{l}\) para cada punto libre (i, j) de la red. Entonces remplazamos \(\phi _{ij}^{l}\) por \(\phi _{ij}^{SOR}\) en cada punto libre (i, j) y con estos nuevos valores realizamos la siguiente iteración para todos los puntos libres. Nuevamente se aplica la ecuación (31) para cada punto libre y así sucesivamente hasta obtener valores convergentes para el potencial Φ en cada punto de la red.

Ejemplo.- Tomemos un punto libre tal como el (i = 2, j = 2). Supongamos que el valor del potencial en ese punto es \(\phi _{ij}^{l} = 6,2 \). Si aplicamos el método de relajación dado por la expresión (21) tendremos:

Electrostática. Relajación

Y aplicando el SOR con un w = 1,5:

Electrostática. Relajación

Y sustituimos 5,92 por 5,78 pasando al punto libre siguiente.

CONCLUSIONES

Los métodos de relajación y sobrerelajación son útiles para resolver problemas intratables analíticamente y cuando se trata de trazar líneas equipotenciales. Su dificultad de aplicación es que precisan del apoyo de programas de cálculo.

Estos métodos, junto al de la membrana tensa, con el que se complementan, son muy útiles en el laboratorio, cuando se quiere conocer con una buena aproximación como se distribuye el potencial ne un cuerpo determinado.

ANEXO

El método de relajación es un caso particular del proceso de Seidel para la resolución de sistemas de ecuaciones del tipo:

Electrostática. Relajación

El teorema que nos dice que el método de relajación converge siempre, es el siguiente:
Si el sistema dado por (33) es tal que el radio espectral de la matriz A es estrictamente menor que la unidad, entonces el proceso de Seidel converge hacia una única solución del sistema cualquiera que sea el vector inicial tomado.

Se demuestra en Análisis Numérico que el valor óptimo del factor de relajación viene dado por la expresión:

Electrostática. Relajación

Donde ρ(J) es el radio espectral de la matriz jacobiana asociada al problema.

FIN
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tema escrito por: José Antonio Hervás