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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
ELECTRICIDAD

CUESTIONES DE ELECTROSTÁTICA

 
MONOGRAFIA.- PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS. MÉTODO DE RELAJACIÓN.

INTRODUCCIÓN

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS


Cuando queremos usar una ecuación diferencial, tal como (1) para obtener soluciones numéricas, lo que hacemos es sustituir las derivadas por una expresión algebraica equivalente, usando el concepto de derivada como límite de un cociente de incrementos finitos.

Electrostática. Relajación

Consideremos el desarrollo de Taylor para la función Electrostática. Relajaciónen un entorno del punto (xo, yo):

Electrostática. Relajación

Haciendo una aproximación hasta términos de tercer orden podemos escribir:

Electrostática. Relajación

Donde O(δx) representa el orden de la magnitud del error asociado en la aproximación que hemos hecho. A la ecuación (8) la llamaremos “diferencia por exceso” de la aproximación a la derivada. Análogamente, podemos calcular la ecuación que representa la “diferencia por defecto” de la aproximación a la derivada considerando el desarrollo de la función Electrostática. Relajaciónentorno al punto (xo, yo):

Electrostática. Relajación

De donde, haciendo una aproximación hasta términos de tercer orden:

Electrostática. Relajación

Que también viene afectada de un error del orden de δx .
Podemos obtener una mejor aproximación restando los desarrollos (7) y (9):

Electrostática. Relajación

Y a partir de ahí:

Electrostática. Relajación

O bien:

Electrostática. Relajación

En esta aproximación el orden del error asociado es menor, siempre que δx < 1.
Para obtener una expresión aproximada de la segunda derivada, sumamos los desarrollos (7) y (9)

Electrostática. Relajación

De donde:

Electrostática. Relajación

O bien:

Electrostática. Relajación

Que tiene un error asociado del orden de (Δx)² .

Consideremos ahora la ecuación de Laplace (1) para un potencial en dos dimensiones
    Φ = Φ(x , y)     (17)
En un punto po(xo, yo), que será de la forma:

Electrostática. Relajación

Si sustituimos las derivadas parciales de acuerdo con la expresión (16), obtenemos:

Electrostática. Relajación

Y despejando el valor Electrostática. Relajación:

Electrostática. Relajación

Haciendo ahora δx = δy = h nos queda:

Electrostática. Relajación

Expresión que utilizaremos más adelante y que nos permite observar que el potencial en un punto Po(xo, yo) es igual a la media de los potenciales d los puntos que rodean a Po.

A continuación obtendremos una expresión equivalente a la (21) para el potencial expresado en coordenadas cilíndricas, limitándonos al caso en el que hay simetría respecto a un eje:
    Φ = Φ(ρ, z)
Para este caso la ecuación de Laplace toma la forma:

Electrostática. Relajación

En el punto \(P_o ( \rho_o , z_o)\) y de acuerdo a las fórmulas (14) y (17) tendremos

Electrostática. Relajación

Y sustituyendo en (22)

Electrostática. Relajación

Que es la expresión equivalente a (22) en términos de incrementos finitos. Reordenando nos quedaría

Electrostática. Relajación

La ecuación (24) representa una singularidad cuando ρo = 0. Para salvarla tenemos en cuenta la simetría el problema que nos dice:

Electrostática. Relajación

Por la regla de L’Hôpital sabemos que se cumple:

Electrostática. Relajación

Así pues, cuando ρ = 0 la ecuación de Laplace (22) toma la forma

Electrostática. Relajación

Como se verifica (25), tenemos para la ecuación (14)

Electrostática. Relajación

Por lo que, teniendo en cuenta (17) la ecuación (27) nos quedará

Electrostática. Relajación

De donde se obtiene

Electrostática. Relajación

Las ecuaciones (21), (24) y (30) nos servirán de punto de partida para la aplicación de las técnicas de relajación.

TECNICAS DE RELAJACIÓN
 
 


tema escrito por: José Antonio Hervás