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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
ELECTRICIDAD

PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS

 
MONOGRAFIA.- MÉTODO DE RELAJACIÓN.

INTRODUCCIÓN


En diversos cursos de análisis matemático y ecuaciones diferenciales pueden estudiarse métodos analíticos que nos permiten resolver la ecuación de Laplace para el potencial Φ en determinados problemas electrostáticos. En esta monografía se desarrolla un método numérico de resolución de la ecuación de Laplace, llamado método de relajación; y una extensión del mismo, la sobrerelajación.

La ecuación de Laplace:

Electrostática. Relajación

Es válida para regiones desprovistas de carga. En tales regiones, el potencial Φ es una función armónica ( una función armónica es, por definición, aquella para la cual la suma de sus segundas derivadas es nula) y verifica, por tanto, que su valor medio en una superficie esférica es igual al valor que toma en el centro de la misma.
En efecto, supongamos que en el volumen V se verifica (1). Entonces, aplicando el teorema de Gauss, tenemos:

Electrostática. Relajación

Pero en la superficie esférica, tomando como origen de coordenadas el centro de la misma, se verifica que:

Electrostática. RelajaciónElectrostática. Relajación

Y será:

Electrostática. Relajación

El desarrollo hecho más arriba puede efectuarse también de otro modo. Teniendo en cuenta la figura adjunta, escribimos:


Electrostática. Relajación

Y también:

Electrostática. RelajaciónElectrostática. Relajación

Con lo cual:

Electrostática. Relajación

Y también:

Electrostática. Relajación

Pero teniendo en cuenta que:

Electrostática. Relajación

Tenemos finalmente:

Electrostática. Relajación

Y cuando la carga Q es nula:

Electrostática. Relajación

Por lo tanto, si disminuimos R hasta que S se confunda con 0, se obtiene lo que íbamos buscando.

Electrostática. Relajación

Como veremos, la técnica de relajación está íntimamente ligada a la validez diferencial de la naturaleza media de las soluciones de la ecuación de Laplace.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

TECNICAS DE RELAJACIÓN

 
 


tema escrito por: José Antonio Hervás