MONOGRAFIA.-
PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS. MÉTODO DE RELAJACIÓN.
INTRODUCCIÓN
En diversos cursos de análisis matemático y ecuaciones
diferenciales pueden estudiarse métodos analíticos
que nos permiten resolver la ecuación de Laplace para
el potencial Φ
en determinados problemas electrostáticos. En esta monografía
se desarrolla un método numérico de resolución
de la ecuación de Laplace, llamado método de relajación;
y una extensión del mismo, la sobrerelajación.
La ecuación de Laplace:
Es válida para regiones desprovistas de carga. En tales
regiones, el potencial Φ
es una función armónica ( una función armónica
es, por definición, aquella para la cual la suma de sus
segundas derivadas es nula) y verifica, por tanto, que su valor
medio en una superficie esférica es igual al valor que
toma en el centro de la misma.
En efecto, supongamos que en el volumen V se verifica (1). Entonces,
aplicando el teorema de Gauss, tenemos:
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Pero en la superficie esférica, tomando como
origen de coordenadas el centro de la misma, se verifica
que:
Y será:
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El desarrollo hecho más arriba puede efectuarse también
de otro modo. Teniendo en cuenta la figura adjunta, escribimos:
Y también:
Pero teniendo en cuenta que:
Tenemos finalmente:
Y cuando la carga Q es nula:
Por lo tanto, si disminuimos R hasta que S se confunda con 0,
se obtiene lo que íbamos buscando.
Como veremos, la técnica de relajación está
íntimamente ligada a la validez diferencial de la naturaleza
media de las soluciones de la ecuación de Laplace.
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
TECNICAS DE RELAJACIÓN
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