RESUMEN DE MECÁNICA CUÁNTICA
Análisis de las soluciones de la ecuación de Schrödinger
para varios sistemas unidmensionales ...
POTENCIAL CONSTANTE (Capítulo
anterior)
ESCALON DE POTENCIAL
Consideremos las soluciones de la ecuación de Schrödinger
para el caso de un escalón de potencial. Se puede demostrar
que no existen soluciones físicamente aceptables si E
< 0. Consideremos en primer lugar soluciones para energías
0 < E < Vo:
Puesto que ψ(k) debe permanecer finita.
Cuando x tiende a infinito, el parámetro D ha de ser
nulo y, por lo tanto, en x > 0 podemos escribir:
Por la continuidad de ψ(k) y su derivada primera en x =
0, tenemos:
De donde resulta:
Sustituyendo los valores de los coeficientes en las soluciones,
tenemos:
La solución encontrada representa una onda plana incidente
desde la izquierda, con una amplitud A, y una onda reflejada
que se propaga hacia la izquierda con una amplitud B. según
la relación entre los coeficientes tenemos
,
que nos indica que existe un reflexión total en x = 0.
Aunque ψ(x) tiene un valor finito en la región x
> 0, decae exponencialmente a medida que penetramos en dicha
región.
Una partícula incidente desde la izquierda, que se moviera
clásicamente y representada por un paquete de ondas construido
mediante superposición de funciones de onda dadas según
16, se reflejaría en el escalón de potencial (x
= 0) dando una probabilidad nula de encontrarse en la región
x > 0.
Consideremos ahora el caso E > Vo. Si la partícula
se considera desde el punto de vista clásico, pasa el
escalón de potencial sin cambiar su velocidad o su dirección.
Las soluciones de la ecuación de Schrödinger son
en este caso:
Si consideramos la solución particular D = 0, entonces
la solución A•exp(ik1x) representa una onda plana
incidente desde la izquierda que se refleja y transmite en x
= 0.
Por la continuidad de ψ(x) y su derivada primera en x =
0, tenemos:
De donde resulta:
Si calculamos la corriente de densidad de probabilidad para
estas ondas, tenemos de su expresión (4):
La igualdad de estos dos valores está asegurada por la
ecuación de continuidad que, para un estado estacionario
y en una dimensión, se reduce a (dj/dx = 0). Por lo tanto:
Por analogía con la óptica, al primer término
de la suma anterior se le llama coeficiente de reflexión,
R, y al segundo, coeficiente de transmisión, T. es fácil
ver que se tiene:
Puede demostrarse que los coeficientes de reflexión y
transmisión son los mismos para una onda incidente desde
la izquierda que para una onda incidente desde la derecha.
BARRERA RECTANGULAR DE POTENCIAL